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5.10組合變形

【內(nèi)容提要】
組合變形的一般分析方法，斜彎曲的分析方法，掌握有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的截面(如矩形、工字形截面)最大正應(yīng)力的計(jì)算。掌握拉(壓)一彎組合變形的分析方法，對(duì)于截面有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的桿，掌握其最大正應(yīng)力的計(jì)算。掌握偏心拉伸(或壓縮)的分析方法，偏心拉(壓)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后，可歸結(jié)為拉伸(或壓縮)與彎曲的組合。掌握彎-扭組合變形下桿橫截面上的應(yīng)力計(jì)算，并用相應(yīng)的強(qiáng)度理論對(duì)危險(xiǎn)點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】
(1)各種基本變形組合時(shí)的分析方法；(2)對(duì)于有兩根對(duì)稱軸、四個(gè)角點(diǎn)的截面桿，在斜彎曲、拉(壓)-彎曲、偏心拉(壓)時(shí)最大正應(yīng)力計(jì)算；(3)用強(qiáng)度理論解決彎-扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算問題。

【內(nèi)容講解】

知識(shí)點(diǎn)一: 組合變形的概念(了解)

　一、組合變形的概念

　　前面研究了構(gòu)件在基本變形時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算。但是工程中許多構(gòu)件在外力作用下往往產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，這種變形稱為組合變形。機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形（圖1）等。 本章主要討論彎曲與拉伸（壓縮）、彎曲與扭轉(zhuǎn)兩種組合變形的強(qiáng)度計(jì)算和應(yīng)用。

二、組合變形實(shí)例

圖2彎扭組合變形	圖3拉彎組合變形	圖4拉扭組合變形	圖5壓彎組合變形

　　三、組合變形的分析方法

　　桿件在組合變形下的強(qiáng)度計(jì)算，一般可采用疊加原理。計(jì)算時(shí)首先通過(guò)力的分解或平移，將載荷簡(jiǎn)化為符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系；然后在變形較小且材料服從虎克定律的條件下，計(jì)算每種基本變形各自產(chǎn)生的應(yīng)力和變形；再進(jìn)行疊加，即得原載荷作用下的應(yīng)力和變形；最后根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立強(qiáng)度條件。

知識(shí)點(diǎn)二:彎曲與拉伸（壓縮）的組合變形 (掌握)

 一、斜拉伸（壓縮）

 如圖a所示矩形懸臂梁，一端固定，一端自由，在自由端作用一力ｆ。設(shè)力ｆ位于梁縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，作用線與梁的軸線成α角，則該懸臂梁受到斜拉伸。 計(jì)算簡(jiǎn)圖b如圖所示。

 

1．外力分析

 將力ｆ沿ｘ、ｙ軸分解得：

軸向拉力ｆ_ｘ使梁產(chǎn)生軸向拉伸變形，橫向力ｆ_ｙ產(chǎn)生彎曲變形，因此梁在ｆ力作用下的變形為拉伸與曲組合變形。

 2．內(nèi)力分析

在ｆ_ｘ的單獨(dú)作用下,梁上各截面的軸向力，在ｆ_ｙ單獨(dú)作用下，梁的彎矩。畫出軸向拉伸時(shí)桿件的軸力圖和彎曲時(shí)的彎矩圖 （圖c、d），可見梁的固定端右側(cè)載面上的內(nèi)力最大，故該截面為危險(xiǎn)截面。

3．應(yīng)力分析

在軸向力ｆ_x作用下，梁的橫向截面上產(chǎn)生均勻分布的拉伸正應(yīng)力，其值為： 。式中ａ為危險(xiǎn)截面的面積。

在橫向力f_y的作用下，使截面產(chǎn)生沿截面高度呈線性分布的彎曲正應(yīng)力。截面上、下邊緣處的彎曲正應(yīng)力分別為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值為：

　

1．外力分析  將力ｆ沿ｘ、ｙ軸分解得： 　　　　  軸向拉力ｆｘ使梁產(chǎn)生軸向拉伸變形，橫向力ｆｙ產(chǎn)生彎曲變形，因此梁在ｆ力作用下的變形為拉伸與曲組合變形。  2．內(nèi)力分析 在ｆｘ的單獨(dú)作用下,梁上各截面的軸向力，在ｆｙ單獨(dú)作用下，梁的彎矩。畫出軸向拉伸時(shí)桿件的軸力圖和彎曲時(shí)的彎矩圖 （圖c、d），可見梁的固定端右側(cè)載面上的內(nèi)力最大，故該截面為危險(xiǎn)截面。                                                   3．應(yīng)力分析 在軸向力ｆx作用下，梁的橫向截面上產(chǎn)生均勻分布的拉伸正應(yīng)力，其值為： 。式中ａ為危險(xiǎn)截面的面積。  在橫向力fy的作用下，使截面產(chǎn)生沿截面高度呈線性分布的彎曲正應(yīng)力。截面上、下邊緣處的彎曲正應(yīng)力分別為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，其值為： 　　　　　  式中ｗ是危險(xiǎn)截面的抗彎截面模量，ｆx為拉力時(shí)取正值，ｆx為壓力時(shí)取負(fù)值。在ｆx和fy同時(shí)作用下，危險(xiǎn)截面上的壓力等于拉伸正應(yīng)力與彎曲正應(yīng)力進(jìn)行疊加 （圖e）。

  4．強(qiáng)度條件

 由式(14-2)知，固定端下邊緣（受拉邊）與上邊緣（受壓邊）處的各點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)。要使桿件有足夠的強(qiáng)度，就應(yīng)使σ_lmax和σ_ymax都不超過(guò)其許用應(yīng)力。故拉彎（或壓彎）組合變形時(shí)，桿件的強(qiáng)度條件為：

　　式中[]、[]分別為材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力。

二、偏心拉伸（壓縮）

如果構(gòu)件所受的外力平行于構(gòu)件的軸線，但不通過(guò)橫截面的形心，這時(shí)構(gòu)件受到偏心拉伸（壓縮）。例如鉆床立柱（圖14-5）受到的鉆孔進(jìn)刀力ｐ，不通過(guò)立柱的橫截面形心，此時(shí)立柱承受偏心載荷。壓力ｐ作用線到截面形心的距離稱為偏心距ｅ。下面以鉆床立柱為例，說(shuō)明偏心拉伸強(qiáng)度的計(jì)算。

例14-2：已知圖14.2.3中所示鉆床立柱。鉆床立柱受到的鉆孔進(jìn)刀力ｐ，不通過(guò)立柱的橫截面形心，此時(shí)立柱承受偏心載荷。已知鉆孔力ｐ＝15kn，偏心距ｅ＝400mm，ｄ＝125mm，立柱材料為鑄鐵，許用拉應(yīng)力[]＝35mpa，許用壓應(yīng)力[]＝120mpa。試校核該立柱的強(qiáng)度是否足夠。

 

解：（1）外力分析  將力ｐ平移到截面形心處，得到一個(gè)加于主柱軸線的力ｐ和一個(gè)力偶m。，kn。

（2）變形分析  力ｐ與r使立柱產(chǎn)生軸向拉伸，力偶m與m₀使立柱產(chǎn)生彎曲，所以立柱產(chǎn)生偏心拉伸。

（3）內(nèi)力分析  畫出立柱的軸力圖和彎矩圖。

軸力：kn     

彎矩：

（4）應(yīng)力分析 

軸向拉伸在橫截面上引起均勻拉應(yīng)力mpa

彎曲變形在橫截面上引起的彎曲正應(yīng)力mpa

（5）強(qiáng)度條件  偏心拉伸（壓縮）與斜拉伸（壓縮）的強(qiáng)度條件相同。

因鑄鐵的抗壓能力強(qiáng)，抗拉能力差，故校核截面上的拉應(yīng)力即可。

疊加后截面上的最大拉應(yīng)力為mpa<[]

所以，立柱的強(qiáng)度足夠。

知識(shí)點(diǎn)三： 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形（一般考點(diǎn)）

下面以如圖a所示的圓軸ａｂ為例，討論圓軸受彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。其中軸的直徑為d，長(zhǎng)度為l，輪半徑為r，在輪緣上作用有力ｐ。

1．外力分析  將ａｂ簡(jiǎn)化為ｂ端固定、ａ端自由的懸臂梁。將力ｐ向輪的中心a點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一橫向力ｐ和一個(gè)力偶矩為m＝pr的力偶。橫向力ｐ使軸產(chǎn)生彎曲，力偶使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。故該軸受到彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。

2．內(nèi)力分析  畫出軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖14.3.1c、d所示。由圖可看出，截面ｂ處的彎矩ｍ和扭矩ｍ_ｎ都為最大值（），故固定端ｂ為危險(xiǎn)截面。

3．應(yīng)力分析  危險(xiǎn)截面ｂ上的應(yīng)力分布如圖14.3.1e所示。由圖可見，在圓軸的危險(xiǎn)截面上，ａ、ｂ兩點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力同時(shí)達(dá)到最大值，，故兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)。但σ_max在軸截面內(nèi)，τ_max在橫截面內(nèi)，它們位于兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)，任一點(diǎn)的應(yīng)力不能是兩者簡(jiǎn)單的疊加，而是比較復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)。

4．強(qiáng)度計(jì)算  在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件應(yīng)通過(guò)強(qiáng)度理論來(lái)建立。所謂強(qiáng)度理論，就是根據(jù)材料在基本變形下的破壞情況，所提出的材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的破壞原因是由某一決定性因素引起的。強(qiáng)度理論有以脆性斷裂破壞為標(biāo)志和以屈服流動(dòng)破壞為標(biāo)志的兩大類。以屈服破壞為標(biāo)志的強(qiáng)度理論，有第三和第四強(qiáng)度理論。由于軸類構(gòu)件一般用塑性材料制成，故常用第三和第四強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件分別如下：

　　　　　?。?span lang=en-us>14-3）

　　　　　?。?span lang=en-us>14-4）

將代入式（14-3）和（14-4）,并注意圓截面的，可得

  

 

上兩式分別表示圓軸在彎扭組合變形時(shí)，用內(nèi)力表示的第三和第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件。式中ｗ_ｚ為危險(xiǎn)截面上的抗彎截面模量，ｗ_ｎ為危險(xiǎn)截面上的抗扭截面模量。