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4.3動(dòng)力學(xué)

本節(jié)內(nèi)容提示：

4.3.1牛頓定律及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

4.3.2動(dòng)量定理

4.3.3動(dòng)量矩定理

4.3.4動(dòng)能定理

4.3.5達(dá)朗貝爾定理

4.3.6質(zhì)點(diǎn)的直線振動(dòng)

4.3.1牛頓定律及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

1.牛頓第一定律

牛頓第一定律——如果質(zhì)點(diǎn)不受力的作用，那么它或者是靜止，或者是作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

牛頓第一定律表明，任何物體都有保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的屬性，該屬性習(xí)慣上稱為慣性。因此牛頓第一定律也稱慣性定律。

2.牛頓第二定律

牛頓第二定律——質(zhì)點(diǎn)受力的作用時(shí)所獲得的加速度與力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即

   或 

這是一個(gè)矢量表達(dá)式，它表明力的方向與加速度方向是一致的。

3.牛頓第三定律

牛頓第三定律——兩物體間相互的作用力，總是大小相等，方向相反，并且沿著同一條直線。

牛頓第三定律也稱為作用力和反作用力定律。這個(gè)定律不僅在物體平衡時(shí)適用，而且也適用于作任何形式運(yùn)動(dòng)的物體。

牛頓定律所給出的結(jié)論只有在慣性參考系才是正確的。

4.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程

質(zhì)點(diǎn)受到n個(gè)力f₁，f₂，…，f_n作用時(shí)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的

基本方程，有

 

 

 

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的三種基本方法，可以將

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)基本方程表示為不同形式的微分方程。

（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式 

 

 

 

（2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式 

 

 

 

 

 

 

由牛頓第二定律得

 

 

 

（3）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式 

若將課本中的式(6-2)在自然軸系的切線方向、法線方向投影可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式，即

 

 

 

例 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)m繞橢圓形路線運(yùn)動(dòng)，如圖所示其運(yùn)動(dòng)方程為

 

方程中a、b、k都是常數(shù)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力f。

 

解   以質(zhì)點(diǎn)m為研究對(duì)象，將運(yùn)動(dòng)方程微分兩次得

 

 

 

由牛頓第二定律得

作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力在軸上的投影為

 

 

 

 

 

力f與矢徑r共線、反向，這表明，此質(zhì)點(diǎn)按給定的運(yùn)動(dòng)方程作橢圓運(yùn)動(dòng)。

4.3.2動(dòng)量定理

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量——設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于某一慣性參考系以速度v作運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積，即mv。動(dòng)量是矢量，它的方向與質(zhì)點(diǎn)速度的方向一致。

二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，即

 

 

 

 

三、質(zhì)心的動(dòng)量

質(zhì)心——組成質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量及其在空間的位置是不同的。表征質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量及其位置的分布情況的一個(gè)幾何點(diǎn)稱為質(zhì)量中心，簡(jiǎn)稱質(zhì)心。

 

靜力學(xué)中求質(zhì)心的公式為

 

 

 

 

其坐標(biāo)公式為

由于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，再由質(zhì)心的定義得

 

 

可見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量（主矢）等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。寫(xiě)成投影式為

 

 

 

 

 

 

 

例 求圖中各質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。(1)質(zhì)量為m，質(zhì)心速度為 v_c的均質(zhì)圓盤(pán)在水平面上運(yùn)動(dòng)；(2)質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω；(3)皮帶及皮帶輪的質(zhì)量都是均勻的。 

 

  解  (1)

 

(2)

 

(3)因?yàn)槠Ъ捌л喌馁|(zhì)量均勻分布，系統(tǒng)在任何瞬時(shí)的形狀與質(zhì)量分布都是相同的，所以質(zhì)心的位置固定不動(dòng) 即

                    故

4.3.3動(dòng)量矩定理

一、動(dòng)量矩

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)q的動(dòng)量對(duì)于o點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)o的動(dòng)量矩：

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在oxy平面的投影（mv)_xy 對(duì)于點(diǎn)o的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量對(duì)于z軸的矩，簡(jiǎn)稱對(duì)于z軸的動(dòng)量矩。

 

質(zhì)點(diǎn)對(duì)于o點(diǎn)的動(dòng)量矩矢在z軸上的投影，等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩。

正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同：對(duì)著軸看“順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正”。

 

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)o動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)o的動(dòng)量矩的矢量和，或者稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)點(diǎn)o的主矩，即

 

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸z動(dòng)量矩的代數(shù)和，即

 

所以有

上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某點(diǎn)o的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的z軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于該軸的動(dòng)量矩。

二、動(dòng)量矩定理

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

 

對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩求一次導(dǎo)數(shù)，得

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因?yàn)?/span>   得

上式表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)任意一定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對(duì)同一點(diǎn)的矩，稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。

2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理有

 

 

 

 

n個(gè)方程相加，有

 

 

 

 

 

由于

 

 

于是

上式表明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)o的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和（外力

對(duì)點(diǎn)o的主矩），稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理。

4.3.4動(dòng)能定理

一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式為

 

 

 

兩邊同時(shí)乘以dr得：

 

 

 

由于           故

 

                或

 

積分得                      或

 

 

即在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)的力所作的功。

二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中任意一質(zhì)點(diǎn)都符合動(dòng)能定理，即

 

 

 

將所有的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能方程相加得

                          

或

 

4.3.5達(dá)朗貝爾定理

一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)m質(zhì)量m， 受主動(dòng)力f和約束力fn ，合力

 

 

 

若令

稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力

 

 

作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。

二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理

對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中任意一質(zhì)點(diǎn)i的達(dá)朗伯原理表示為

 

 

若將作用在質(zhì)點(diǎn)i 上的力分為外力合力 和內(nèi)力合力 ，則

 

 

將各質(zhì)點(diǎn)外力合力、內(nèi)力合力與虛加慣性力合力相加得

 

 

因?yàn)?/span>               

 

故：

 

 

 

4.3.6質(zhì)點(diǎn)的直線振動(dòng)

1、質(zhì)點(diǎn)的自由振動(dòng)

如圖所示，質(zhì)量為m的物塊掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，彈簧自然長(zhǎng)度 l0,這就構(gòu)成了典型的單自由度系統(tǒng)，稱為彈簧——質(zhì)量系統(tǒng)。

（1）自由振動(dòng)微分方程

由平衡條件∑fx=0,得：

mg=kδst

當(dāng)物塊偏離距離x時(shí)，微分方程：

md²x=mg-k（δst+x）

即

md²x=-kx

（2）振幅、初相位和頻率

無(wú)阻尼的自由振動(dòng)以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅a和初相位角α分別為：

，