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第三節(jié)　流動阻力和能量損失

大綱要求：沿程阻力損失和局部阻力損失；實際流體的兩種狀態(tài)-層流和紊流；圓管中層流運動；紊流運動的特征；減小阻力的措施。

在第二節(jié)中我們討論了能量方程，但并未討論能量方程中由于流動阻力所產(chǎn)生的能量損失．在第一節(jié)中曾經(jīng)指出，水、空氣等都是有粘性的，因而將產(chǎn)生流動阻力。流體在固體壁面的約束下流動，如管流或明渠流等稱為內(nèi)部流動，此時流體要流動就必須克服阻力做功，由此產(chǎn)生能量損失。流體繞固體流動或者說固體在流體中運動時，稱為外部流動，如風(fēng)吹過煙囪或顆粒在流體中上升或沉降，此時氣流受到煙囪的阻力或者顆粒受到流體的阻力都是粘性阻力，稱為繞流阻力。

本節(jié)主要討論內(nèi)部流動的能量損失及計算方法；對繞流阻力僅作簡單介紹。

由于流動有層流和紊流兩種流態(tài)，不同流態(tài)的能量損失的規(guī)律是不同的。所以下面還將討論以上兩種流態(tài)。

一、流動阻力和水頭損失的分類-

根據(jù)流體流動的邊界條件不同，流動阻力和水頭損失可以分為兩類。當(dāng)流體受邊界限制做均勻流動（如斷面大小、流動方向沿程不變的管流）時，流動阻力中只有沿流程不變的摩擦阻力，稱為沿程阻力或摩擦阻力，由于沿程阻力做功所引起的水頭損失，稱為沿程水頭損失，以 h_f 表示。當(dāng)流體經(jīng)過邊界急劇變化處，由于邊界的改變引起斷面流速的大小、方向、流速分布發(fā)生急劇變化，還有漩渦區(qū)的形成，這種集中發(fā)生在較短范圍的阻力稱為局部阻力，相應(yīng)的水頭損失稱為局部水頭損失，以 h_j 表示.

沿程水頭損失的計算公式（達(dá)西公式） :

式中 l —— 管長．

d一一 管徑．

v —一 斷面平均流速；

γ—― 沿程阻力系數(shù).

局部水頭損失的計算公式

式中——局部阻力系數(shù)。

二、實際流體的兩種流態(tài) ― 層流和紊流-

（一）雷諾實驗

雷諾1883年曾經(jīng)以圖 6-4-1 的裝置來進行實驗，揭示了兩種流態(tài)不同的本質(zhì)并確定圓管流態(tài)的判別數(shù)。

打開玻璃管的調(diào)節(jié)閥，玻璃管中水開始流動再打開顏色液的小閥，顏色水將進人玻璃管，與水一起流動．當(dāng)管中平均流速v較小時，顏色液呈一直線狀（如圖 6-4-1 中 a ) , 與周圍清水互不摻混，這種有規(guī)則的分層流動被稱為層流。隨著v的增大，顏色液將產(chǎn)生波動，直到某一數(shù)值，顏色液擴散到清水中，不復(fù)再見（見圖 6-4-1 中 b）。這時，兩者已互相摻混，每個流體質(zhì)點的軌跡是十分混亂的，這種流態(tài)被稱作紊流。此時若再將流速減小，必須減小到比前一臨界值更小的數(shù)值，流態(tài)才會轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿?。層流和紊流由于兩者?nèi)部結(jié)構(gòu)不同，能量損失的規(guī)律也不同。由實驗得到：等徑直管上下游斷面間的水頭損失，層流時與斷面平均流速的一次方成正比，即 h_f  v^1.0 ;紊流時則與流速的 1 .75 – 2.0次方成正比，h_f  v^{1.75- 2.0}。

（二）層流和紊流的判別數(shù) ― 雷諾數(shù)

由于層流和紊流水頭損失的規(guī)律不同，在計算水頭損失前，必須判別流態(tài)。流態(tài)的確定除了與流速的大小有關(guān)外，還與管徑和流休的粘性有關(guān)。因此采用綜合性的雷諾數(shù) r_e作為判別流態(tài)的無量綱數(shù)。

式中 υ、 d 、ν分別為流速，管徑和流體的運動黏性系數(shù)。

實驗證明，由紊流轉(zhuǎn)變到層流的下臨界雷諾數(shù)是相當(dāng)穩(wěn)定的 re_c = 2000 。而從層流轉(zhuǎn)變到紊流的上臨界雷諾數(shù) r_ec'卻與實驗環(huán)境的擾動的大小有關(guān)，自 4000 - 2 0000 之間變化，所以取 re_c 作為判別的依據(jù)。re ≤ 2000是層流狀態(tài)。 re > 2300 /2000可以認(rèn)為是紊流狀態(tài)。

對于非圓管中的流動，雷諾數(shù)計算中特征長度 d 可以用水力半徑 r 或當(dāng)量直徑 d _當(dāng)來代替

式中 a ― 過流斷而面積；

x 一濕周，指過流斷面上與流體相接觸的那部分固體邊界的長度

【 例 6-4-1】  內(nèi)徑 d = 6mm 的水管，水溫 20 ℃ ，管中流量為 0 021 / s ，試判別流態(tài) . 若管中通過的是v = 2. 2×10^{- 6} m² ／ s 的油，流量仍為 0.021 / s ，流態(tài)如何？

 

三、圓管中的層流運動-

（一）均勻流動方程式

取一段等直徑圓管中的恒定均勻流來討論，見圖 6-4-2 。均勻流動中的能量損失只有沿程不變的切應(yīng)力產(chǎn)生的沿程損失，用 h_f表示。

對 l 一 1 和 2 一 2 斷面寫能量方程：

再取 1 一 1 和 2 一 2 斷面之間的流體寫出動量方程:

式中， a 為圓管斷面面積， χ為斷面上流體與固體壁面相接觸的周界長度。

將 lcosθ= z₁ 一z₂ 代入上式并將各項除以ρga得

式中 j 為水力坡度。見式（ 6-3-9 ）。

式（ 6-4-6 ）或式（ 6-4-7 ）給出了沿程水頭損失與切應(yīng)力的關(guān)系，即為均勻流動方程式。

以上是取半徑為r₀的流段來討論的，其邊界上的切應(yīng)力為 τ₀ ，若取半徑為 r 的流段，邊界上的切應(yīng)力為 τ，同上可有

說明在圓管均勻流的過流斷面上，切應(yīng)力呈直線分布，管壁處切應(yīng)力最大為τ₀，管軸處切應(yīng)力為零

 

 

（二）圓管中的層流運動-

對于圓管將dy改為 dr ，又因 du 與 dr符號相反，將上式改寫為

與式（ 6-4-8 ）聯(lián)立可得:

從以上的推導(dǎo)得出的結(jié)論是:圓管中的層流，斷面上流速分布是旋轉(zhuǎn)拋物面。平均流速是最大流速的一半.

式中γ― 沿程阻力系數(shù).

所以，從圓管中層流的推導(dǎo)得到的又一個重要結(jié)論是：圓管中層流的水頭損失只與雷諾數(shù)有關(guān)，而與管壁條件無關(guān)。且水頭損失與流速的一次方成正比。

 

四、紊流運動的特征

紊流中，流體質(zhì)點在運動中不斷互相混雜，使各點的流速、壓強等運動要素都隨時間作無規(guī)則的變化，這種變化稱為脈動現(xiàn)象。圖 6-4-3 表示紊流中某點x方向速度 u_x 隨時間 t 變化的曲線。同樣也可測出該點u_y、u_z和 p 隨時間的變化曲線?？雌饋磉@種變化迅速而無規(guī)律，使對紊流的研究十分困難。但經(jīng)深人分析可知，這種脈動是圍繞某一平均值而變化的這樣，可以將紊流看作兩個流動的疊加。即時間平均流動和脈動的疊加。某點在某一瞬時x方向的速度 u_x 就等于時間平均速度和該瞬時脈動流速_x的代數(shù)和。即

 

    引人時間平均流動的概念后，盡管紊流實質(zhì)上是極無規(guī)則的非恒定流，但只要它的時均值是一常數(shù)就可以將它看成恒定流。或者它的時均值隨時間遵循某一規(guī)律變化，就可看作是隨時間遵循某一規(guī)律變化的非恒定流（如水箱中水無補給時，經(jīng)水箱孔口的出流） , 而且前面提到的概念，如流線、斷面平均流速等等對于時間平均流動仍可照常應(yīng)用。但對于紊流的切應(yīng)力、紊流擴散等問題的研究卻必須考慮紊流的脈動.

紊流中的切應(yīng)力除了由于黏性所產(chǎn)生的切應(yīng)力外，由于質(zhì)點互相摻混、動量的交換，還存在著紊流的附加切應(yīng)力，又稱為雷諾應(yīng)力。

τt為紊流附加切應(yīng)力即雷諾應(yīng)力。經(jīng)分析可得：τt =   但等脈動流速難以求出。為了找到由于脈動所引起的紊流附加應(yīng)力與時均流速的關(guān)系，普朗特提出半經(jīng)驗的混合長度理論，推導(dǎo)出：

式中 l ― 混合長度，流體質(zhì)點因橫向脈動流速作用，橫向運動一段距離后，才與周圍質(zhì)點進行動量交換．混合長度即與此距離有關(guān)。

一 時均流速梯度.

當(dāng)雷諾數(shù)較小時，以黏性切應(yīng)力τv為主。隨 re 的增加，紊流附加切應(yīng)力τ_t在τ中的分量逐漸增大，至雷諾數(shù)相當(dāng)大時，粘性切應(yīng)力甚至可以忽略不計。

由紊流的半經(jīng)驗理論可以得到沿邊界法線方向的流速分布為對數(shù)函數(shù)

式中，直接反映邊界上的切應(yīng)力τ₀，因具有速度的量綱，故稱為剪切速度；y為離圓管壁的距離；k 為卡門通用常數(shù)；c由邊界條件確定.為積分常數(shù)。

紊流的流速分布，靠近固體邊界處與核心區(qū)域是不同的。緊貼邊界的流體質(zhì)點流速為零，近邊界處流速顯著減小，在邊界附近存在著很薄的黏性底層。在黏性底層內(nèi)流速分布可作為直線分布。而紊流核心區(qū)域內(nèi)由于質(zhì)點相互摻混和動量交換，使速度趨于平均化。此外依據(jù)試驗資料還提出了紊流流速分布的指數(shù)公式：如在re = 1.1×10⁵時

式中 r₀ 為圓管半徑． y 為流速為 u 的點至壁面的距離。-了解一下就可以了。

黏性底層的厚度隨 re的增大而減小，它雖然很薄，但對能量損失影響很大.

五、沿程水頭損失

流體作均勻流動時，切應(yīng)力沿程不變，單位長度的能量損失相等，這種損失稱為沿程損失，它的大小與長度成正比，用 h_f 表示。式（ 6-4-6 ）已說明了切應(yīng)力和沿程水頭損失的關(guān)系。該式不僅適用于層流也同樣適用于紊流。對于圓管中的層流，通過理論分析，我們已得到了沿程水頭損失的計算公式即式（ 6-4-13 ) ，對于紊流，由于完全由理論分析難以求出沿程水頭損失的公式。我們借助于因次分析，同樣可以得到同一形式的沿程水頭損失的計算公式:

這里只是λ有所不同。式 (6-4-18 ）是管流的通用公式.

與層流不同的是λ為雷諾數(shù)及管壁相對粗糙度△/d 的函數(shù)?！鳛楣鼙谏系拇植谕黄鸶叨取τ谖闪?，無法像對圓管中的層流一樣推導(dǎo)出λ，只能依靠實驗研究。最初由尼古拉茲在實驗室中對人工粗糙管（即管壁均勻地黏上一定粒徑的沙子的圓管）測出λ與 re和△/ d 的變化規(guī)律。以后許多人又做了矩形渠道和工業(yè)管道的實驗，總結(jié)出不少經(jīng)驗公式其中考爾布魯克公式(柯列勃洛克公式)

了解這個公式就行了

是根據(jù)大量工業(yè)管道的試驗資料提出的。為了簡化計算，莫迪在此公式基礎(chǔ)上繪成曲線（圖 6-4-4 ）稱莫迪圖。從莫迪圖中可以看到：其中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是按對數(shù)分格的，稱為雙對數(shù)格紙，這樣畫出來的λ- re曲線圖形即為 1gλ一 1gre的曲線圖形。按圖中曲線可分為五個阻力區(qū)，不同區(qū)阻力系數(shù)的規(guī)律不同.

1 層流區(qū)： re ≤2300 時,各種不同相對粗糙度的管道的沿程阻力系數(shù)λ=  . 這個結(jié)果與前面理論推導(dǎo)完全一致，即λ僅與 re有關(guān).

2 臨界區(qū)（層流一紊流的過渡區(qū)） : 2300 < re < 4000 。此區(qū)域由于數(shù)值不穩(wěn)定，研究較少．圖中僅用斜線表示。

3 光滑區(qū)：圖中表示為左下方的包絡(luò)線。在此區(qū)內(nèi)由于粗糙突起高度被黏性底層所覆蓋，對阻力系數(shù)λ沒有影響，λ仍僅與 re有關(guān)。

4 紊流過渡區(qū)：圖中表示為光滑管區(qū)至虛線之間的區(qū)域。隨 re的增大，黏性底層厚度減小，粗糙突起高度開始發(fā)生影響。在該區(qū)內(nèi)λ與 re 及 △ ／ d 都有關(guān)系。λ= f（ re ， △ ／d）.

5 粗糙區(qū)（阻力平方區(qū)）：圖中虛線以右的部分。曲線呈水平線，即λ僅與 △ ／ d 有關(guān)，與 re 沒有關(guān)系。因為此時黏性底層已減小到即使 re再增大也不能對流動阻力有什么影響了。

使用莫迪曲線求沿程阻力系數(shù)十分簡便，查圖的精度基本上能滿足工程上的需要。圖中的 △ 并非簡單的粗糙突起高度，而是工業(yè)管道的當(dāng)量粗糙度，即是指和工業(yè)管道同直徑，且在紊流粗糙區(qū)人值相等的人工粗糙管的粗糙突起高度。常用管材的當(dāng)量粗糙度見表 6-4-1 。

【 例 6-4-2 】 新鑄鐵管，長 500m ，內(nèi)徑為 150mm ，所輸水的溫度為 10 ℃ ，流量為 40l / s 。求水頭損失

【 解】水溫 10 ℃ 由表 6-1-2 查得水的黏性系數(shù)，v = 1. 308 × 10^-6m²／ s .

新鑄鐵管，查表 得 △ = 0. 25 ～0.4mm ，取 △ = 0. 3mm

由 re和△ ／ d在圖 6-4-4 莫迪圖上查得λ= 0.0 242 （曲線 △ ／ d = 0.002 與豎線 re = 2.6 ×10⁵的交點的λ值），在紊流過渡區(qū)內(nèi)．

除查莫迪圖求λ外，也可用經(jīng)驗或半經(jīng)驗公式計算。上述式（ 6-4-19 ）是紊流過渡區(qū)的公式，也可適用于光滑區(qū)和粗糙區(qū)，但計算很不方便。與它相近的下面兩個公式也同樣適用于整個紊流各區(qū)，計算則較為簡便。

以上公式均為有關(guān)管流沿程水頭損失的公式。對于明渠水流，式（ 6 -4-18 ）中的 d 用當(dāng)量直徑d_當(dāng) [ 見式（ 6-4-4 ）式（ 6-4-5 } ］代替，也可適用但習(xí)慣上采用另一公式：

式中 v為斷面平均流速; r為斷面的水力半徑 [r = 式（ 6-4-4） 〕 ；j為水力坡度。c為謝才系數(shù)，為一個具有量綱的系數(shù)。式（ 6-4-22 ）稱為謝才公式.x為濕周。

在紊流粗糙區(qū)，謝才系數(shù)可直接由經(jīng)驗公式算出:

式中   r ― 水力半徑，以米（ m ）計.

n ― 糙率，綜合反映壁面粗糙情況的無量綱數(shù)，見表 6-4-2 .

六、局部水頭損失

局部水頭損失按式（ 6-4-2 ）（截塔）計算，關(guān)鍵在于確定局部阻力系數(shù)ζ.從理論上講 ζ 應(yīng)與局部阻礙處的雷諾數(shù) re和邊界情況有關(guān)。但因受局部阻礙的強烈干擾，局部阻礙處的流動在較小的雷諾數(shù)時就已進入粗糙區(qū)，所以一般可以認(rèn)為ζ只決定于局部阻礙的形狀，與  r e無關(guān)。局部阻礙的形式繁多，流動現(xiàn)象極其復(fù)雜，局部阻力系數(shù)多由實驗確定。表 6- 4-3 中列出了常見的幾種局部阻力系數(shù)ζ值。

其他各種局部阻力系數(shù)可查閱有關(guān)水力計算手冊。

【 例6-4-3 】 水流經(jīng)虹吸管從 a 水池流人 b 水池，如圖 6-4-5 所示，管徑 d =100mm ，管長 l = 30m ，管材為鍍鋅鋼管 △ = 0. 3mm ，ζ彎 = 0. 75 ，兩水池水面差為 4m 。求通過虹吸管的流量．（水溫為 15 ℃ ）

【 解 】 取兩水面分別為 l 一 1 和 2 一 2 斷面，寫能量方程

h + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 ＋ h_w

因 re 不知，雖已知 △ ／ d =  = 0.03 仍不能確定λ值，所以先假設(shè)λ= 0.025 .由表 6-4-3 查得ζ_進 = 0. 5  ζ_出 = 1.0 ,

解得v ＝ 2 .733 m/ s

驗算λ假定是否正確：由表 6-1-2 查得v = 1. 14l × 10^-6 m ²/ s ,

七、減小阻力的措施

較小阻力的措施：在物理方面，改善邊壁的的粗糙度，用柔性邊壁代替剛性邊壁，用漸變段代替突變段；盡量采用流線型、圓角形等平順的管道進口；對彎管，盡量減少轉(zhuǎn)角，增加△ ／ d以及兩個局部阻礙之間的合理銜接等，在化學(xué)方面，在流體內(nèi)投加極少量的添加劑，使其影響流體運動的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)減阻，如高分子聚合物減阻等。

八、邊界層基本概念和繞流阻力

（一）邊界層的基本概念

在黏性流體繞固體的流動中，當(dāng)雷諾數(shù)相當(dāng)大時，緊貼固體表面的流體與壁面之間沒有相對運動。稍微離開壁面的流體層受其影響速度也較?。诒诿娴耐夥ň€方向上流體的流速由零開始迅速增大，在壁面附近形成了一層流速梯度很大的區(qū)域，稱為邊界層。在邊界層中，黏性力是不能忽略的。而在邊界層外則可以看作是理想流體的流動。一般情況下邊界層是很薄的，黏性作用被限制在一薄層中，比較容易得到解決．邊界層以外的廣大區(qū)域中的流動又可按理想流體流動來求解。這樣就簡化了復(fù)雜的黏性流體流動，推動了流體力學(xué)的發(fā)展。

圖 6-4-6 表示了二元平板繞流的邊界層。板上游為均勻來流，流速為 u 與平板平行?？梢钥吹剑哼吔鐚雍穸圈剖茄亓靼l(fā)展的，在板端為零，隨后沿流逐漸增加。邊界層與主流實際上并沒有明顯分界，通常規(guī)定速度到達(dá)0.99 以外為邊界層的外緣。在雷諾數(shù)較高時，邊界層是很薄的，一般遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長度。因此沿壁面法線方向速度梯度很大，必須考慮流體的粘性。但壓強沿壁面法線方向可以認(rèn)為是不變的。邊界層也有層流和紊流之分如圖 6-4-6 所示，在平板的前段是層流狀態(tài)，隨著 re_x = 的增加，層流邊界層將逐漸過渡到紊流狀態(tài)對于光滑平板，臨界雷諾數(shù) re _x = 3 × 10⁵ 一 3 ×l0⁶ ．即使在紊流邊界層內(nèi)，近壁處仍有一黏性底層

（二）邊界層的分離現(xiàn)象

上述平板邊界層不出現(xiàn)邊界層與壁面脫離的分離現(xiàn)象。但當(dāng)黏性流體繞過彎曲壁面時，在逆壓梯度（＞0）的情況下，邊界層流動速度減小.。在黏性摩擦力和反向壓差的雙重作用下，邊界層厚度增長更快，近壁流速愈小，最后導(dǎo)致近壁處流向改變在下游出現(xiàn)近壁的回流，使邊界層脫離壁面，見圖 6-4-7 。邊界層與壁面開始分離的點稱為分離點。過分離點后的回流稱為尾流，常伴隨著漩渦。

邊界層的分離和漩渦區(qū)的存在是造成局部損失的主要原因。因為漩渦區(qū)的存在大大增加了紊流的紊動程度；漩渦區(qū)壓縮了主流的過流斷面，引起過流斷面上流速重新分布，流速梯度增大了，也就增大了流層間的切應(yīng)力；漩渦區(qū)內(nèi)部不斷消耗的能量，也是來自主流，同時下游一定范圍的紊流脈動也將加劇，從而加大了這段長度上的水頭損失。

（三）繞流阻力

在外部流動中，黏性流體繞物體流動或物體在流體中運動，物體受到的阻力稱為繞流阻力。繞流阻力可分為摩擦阻力和壓差阻力。摩擦阻力是作用在物體表面上的切應(yīng)力在來流方向的總和。壓差阻力是物面上壓應(yīng)力的合力在來流方向的分量。主要是由于邊界層分離后尾流區(qū)壓強降低引起上游面和下游面的壓差形成的。所以壓差阻力由物面形狀決定，也稱形狀阻力。

各種形狀物體的繞流阻力 d 由下式確定：

式中   a 為繞流物體在垂直于來流速度方向的最大投影面積；ρ為流體密度；u₀為來流

速度（相對于繞流物體的速度）；c_d為繞流阻力系數(shù)，圓柱和球的阻力系數(shù)見圖 6-4-8.

   

【 例6-4-4 】 圓柱形煙囪高 l = 30m ，直徑 d = 1.2m ，水平風(fēng)速u₀ = 12m / s .空氣ρ=  1.2kg ／m³，v = 15×10^-6m² / s . 求煙囪所受風(fēng)的推力。

查圖 6-4-8 ( b ）得 c_d =  0.30