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第六章　流體力學

第一節(jié)　流體的主要物性和流體靜力學

本節(jié)大綱要求：液體的壓縮性與膨脹性；流體的粘性與牛頓內(nèi)摩擦定律；流體靜壓強及特性，重力作用下靜水壓強的分布規(guī)律；作用于平面的液體總壓力的計算。

一、流體的連續(xù)介質(zhì)模型

流體包括液體和氣體。物質(zhì)是由分子組成的，流體也是一樣，分子間存在間距，且這些分子不斷地作無規(guī)則的熱運動，分子之間又存在著空隙。而我們所討論的流體并不以分子作為對象而是以一個引進的連續(xù)介質(zhì)模型進行研究：認為流體是由連續(xù)分布的流體質(zhì)點所組成的?；蛘哒f流體質(zhì)點完全充滿所占空間，沒有空隙存在。描述流體運動的宏觀物理量．如密度、速度、壓強、溫度等等都可以表示為空間和時間的連續(xù)函數(shù)，這樣，就可以充分利用連續(xù)函數(shù)來對流體進行研究，不必考慮其微觀的分子運動，只研究流體的宏觀的機械運動。

二、流體的慣性、質(zhì)量和密度

慣性就是物體所具有的反抗改變原有運動狀態(tài)的物理性質(zhì)。表示慣性大小的物理量是質(zhì)量。質(zhì)量愈大，慣性愈大，運動狀態(tài)愈難改變．

單位體積內(nèi)所具有的質(zhì)量稱為密度，以ρ表示。對于均質(zhì)流體

式中 m 為質(zhì)量，以千克（kg）計．v 為體積，以立方米（m³）計。所以ρ的單位為kg/m³

密度與溫度和壓強有關，表 6- 1-1 列出了在標準大氣壓下幾種常見流體的密度值。

三、流體的壓縮性和熱脹性

在壓強增大時，流體就會被壓縮，導致體積減小，密度增加；而受熱后溫度上升時，流體的體積會增大，密度會減小，這種性質(zhì)稱為流體的壓縮性和熱脹性。

流體的壓縮性指流體體積隨壓強而變的特性。壓強增大，流體體積減小。通常以壓縮性系數(shù)β來表示液體的可壓縮性.

（6-1-2）

式中為體積的相對減小量；

dp 為壓強的增量。

體積彈性系數(shù) k 為β的倒數(shù)

（6-1-3）

β的單位為 m² / n , k 的單位為 n/m²．對于不同的液體，β 或 k 值不同；同一種液體，不同溫度和壓強下， β 或 k 值也不同。水的 k 值很大，常溫下近似為 2.1 × 10⁹ pa （帕）。也就是說，當壓強增加一個大氣壓時，水的體積只縮小萬分之零點五左右，其他液體的 k 值也很大。所以一般清況下可以不考慮液體的壓縮性，認為液體的密度為常數(shù)。

熱脹性：

液體的熱脹性，一般用膨脹系數(shù)α表示，與壓縮系數(shù)相反，當溫度增dt時，液體的密度減小率為

，熱膨脹系數(shù)α=，α值越大，則液體的熱脹性也愈大。α的單位為1/k.

對于氣體，其密度與壓強變化和溫度變化密切聯(lián)系，有著顯著的壓縮性和熱脹性，可以根據(jù)氣體狀態(tài)方程= rt來說明它的變化。

式中：p為氣體的絕對壓強，單位是pa，r為氣體常數(shù)，單位是j/(kg.k),r=8314/n,其中n為氣體相對分子質(zhì)量；t為熱力學溫度，單位是k。

四、流體的粘性

流體在靜止時不能抵抗剪切變形。但當兩層流體之間有相對運動時，在它們的接觸面上就會產(chǎn)生內(nèi)摩擦力：運動快的流層對運動慢的流層產(chǎn)生拖動作用．運動慢的流層對運動快的流層產(chǎn)生阻力。這種內(nèi)摩擦力起阻止流體內(nèi)部相對運動的作用。流體具有內(nèi)摩擦力的特性就是流體的粘性?；蛘哒f粘性就是流體具有抵抗剪切變形的能力。由于流體的粘性，流體在運動過程中必須為克服內(nèi)摩擦力而做功，由此導致能量損失，從而使流體的運動變得更為復雜。

根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律．流層間的內(nèi)摩擦力 t 的大小與流體的性質(zhì)有關，并與流速梯度和接觸面積a成正比，與接觸面上的壓力無關。 即

（6-1-4）

以切應力表示為

    （6-1-5）

式中   μ一一黏性系數(shù)或黏度，或稱動力黏性系數(shù)（動力黏度），以帕· 秒（ n.s / m²）為單位；

du——兩流層間的速度差（見圖 6-1-1 );

dy—― 兩流層間的距離,為速度在垂直于速度的方向上的變化率，也稱為速度梯度?？梢宰C明，流速梯度代表了角變形速度。因此牛頓內(nèi)摩擦定律說明了流體的切應力與角變形速度成正比。

    黏性系數(shù)μ反映了流體黏性的大小，不同種類的流體μ值不同，同種流體的μ值也隨溫度而變化：液體的μ值隨溫度升高而減小; 氣體的μ值隨溫度升高而增大。在實用范圍內(nèi)μ值可以認為與壓強的變化無關。在流體力學中還常常出現(xiàn)μ/ρ的形式，我們將它稱為運動黏性系數(shù)（運動黏度），用ν表示：

    （6-1-6）

    ν的單位為m²/ s 或 cm²/ s ．

并不是所有流體都符合牛頓內(nèi)摩擦定律的。有些流體不滿足切應力與角變形速度成正比的關系，或者說它們的μ值并非與τ無關；這些流體如泥漿、油漆、接近凝固的石油等等被稱為非牛頓流體，而符合牛頓內(nèi)摩擦定律的流體如水、空氣等則稱為牛頓流體。本教材中只討論牛頓流體.

五、作用在流體上的力-

流體的機械運動是由外力作用引起的，為了便于研究流體平衡和運動的規(guī)律，我們將作用在流體上的力分為質(zhì)量力和表面力兩大類。

質(zhì)量力作用于流體的每一個質(zhì)點上，其大小與受作用流體的質(zhì)量成正比。常見的有重力、慣性力。對于均質(zhì)流體，質(zhì)量與體積成正比，故質(zhì)量力與流體體積成正比，又稱為體積力．單位質(zhì)量流體上所受到的質(zhì)量力稱為單位質(zhì)量力

式中m——流體的質(zhì)量；一一總質(zhì)量力；x = ，y= ，z =  ，分別為在x、y、z軸方向的投影，其單位為米／秒²  ( m / s² ) ，與加速度的單位相同.

表面力作用于流體的表面上：包括液體的自由表面，流體與固體間的接觸面，以及所取流體脫離休的表面。根據(jù)作用力的方向，表面力又可分為垂直于作用面的壓力和平行于作用面的切力兩種。

設在脫離體表面上任一點取一微小面積△a （圖 6- 1-2) , 所受壓力和切力分別為△p和△t ，則該點的壓強p和切應力 τ 為：

   

【 例 6-1-1 】 一平板在油面上做水平運動，如圖 6-1-3 所示，已知平板而積 a = 1 m²，油層厚度δ= 2mm ，油的動力黏性系數(shù)μ= 0. 1 pa ·s ，平板運動速度 υ = 50cm / s ，求拖動平板所需的力.

【 解 】 由牛頓內(nèi)摩擦定律 –

            

對于厚δ的油層來說，上面與平板接觸的油層粘附在平板上，運動速度與平板相同。底面油層粘附在固定底板上，速度為零。

 

六、　流體靜力學

流體靜力學研究流體處于靜止狀態(tài)下的力學規(guī)律及其在實際工程中的應用。靜止狀態(tài)下流體質(zhì)點間不存在相對運動，因此也沒有切應力，這樣，流體靜力學主要是研究壓強在空間的分布規(guī)律以解決求點壓強及面壓力的問題。

（一）、流體靜壓強的特性

靜止流體中，表面力中只有壓力，由式（ 6-1-8 ）知

p 表示當△a收縮至一個點時為該點的流體靜壓強。

流體靜壓強p有兩個特性：

（1）流體靜壓強垂直于作用面，并指向作用面的內(nèi)法線方向.

（2）靜止流體中任意點的靜壓強與受壓面的方向無關。即同一點各方向的流體靜壓強大小相等。（證明過程不在這里詳細說明了）

（二）、重力作用下的液體靜壓強的分布規(guī)律

下面討論作用在液體上的質(zhì)量力只有重力時靜壓強的分布規(guī)律.

（1）液體靜力學的基本方程

在靜止液體中，任取一微小圓柱體，柱體長為 dl ，端面積為 da 并垂直于柱軸線，如圖 ( 6-2-2 ）所示。作用在柱體上的表面力有兩端面的壓力及側(cè)面的壓力，端面壓力 p_lda 及p₂da 是沿軸向的．側(cè)面壓力是垂直于軸的，故在軸向沒有分力。作用在柱體上的質(zhì)量力只有重力 g ，它與軸夾角為a.

寫出微小圓柱體軸向力的平衡方程：

式（ 6-2-3 ）即重力作用下的靜力學基本方程，它表示了在靜止液體中，壓強隨深度按直線變化的規(guī)律。不論盛液體的容器形狀如何復雜，只要知道液面壓強 p₀和該點在液面下的深度 h ，就可用靜力學基本方程求出該點壓強。方程還表明，靜止液體中任一水平面上，各點壓強相等。即水平面是等壓面。

（2）絕對壓強、相對壓強、真空值

以絕對真空為零點起算的壓強稱絕對壓強，以p_abs表示；以當?shù)卮髿鈮?span lang="en-us"> p_a為零點起算的壓強稱相對壓強，以 p 表示.

某點的真空值指該點的絕對壓強p_abs不足于當?shù)卮髿鈮簭?span lang="en-us"> p_a的值。絕對壓強、相對壓強、真空值之間的關系如圖 6-2-3 所示。

壓強的計量單位常用的有: 1 應力單位： n / rn² ( pa ) , kn / m² ( kpa ) ，如壓強很高也可用 mpa（ 1 mp = 10⁶ pa ）。 2 液柱單位：有 mh₂o （米水柱） , mmh₂o （毫米水柱）或 mmhg （毫米汞柱）。將液柱單位乘以該液體的ρg（密度× 重力加速度）即可得到應力單位。 3 大氣壓單位：物理學上，一標準大氣壓（ atm ）相當于 760mm hg ，工程上為便于計算，采用工程大氣壓（ at） ，一工程大氣壓相當于 10mh₂o ，即

【 例 6-2-l 】如圖 6-2-4 所示密封水箱，自由表面的絕對壓強為 p₀ = 78. 4kpa ，水深 h₁ = 0.5m , h₂ = 2.5m 。試求 a 、b兩點的絕對壓強、相對壓強和真空值（設當?shù)卮髿鈮簭姙?span lang="en-us"> 98kpa ）。

【 解 】 利用 p = p₀＋ρgh得 a 、 b 兩點絕對壓強

a、 b 兩點的相對壓強為

由式（ 6-2-5 ）得 a 點的真空值為

（3）位置水頭，壓強水頭和測壓管水頭

由式（ 6-2-2 ）可得

式中: z 為任一點在基準面以上的位置高度（基準面為任選的水平面） , p /ρg為測壓管高度，又稱壓強水頭，兩者之和 ( z ＋)稱為測壓管水頭 。 式（ 6-2-6 ）表明，靜止液體中，各點測壓管水頭相等。見圖 6-2-5。

【 例 6-2-2 】 為了測量密度為 ρ 的流休中一點 a 的壓強，利用圖 6-2-6 所示 u 形測壓計來量測，設測壓計中工作流體的密度為，測得高度 h₁， h₂，求 p _a。

【解】 過ρ與兩種液體的分界面 b 作水平面 bc 。p_b= p_c

【例 6-2-3】應用水銀壓差計來測定 ab 兩點的壓強差的裝置如圖 6-2-7 所示。已知 z_a一 z_b = △h，并測得壓差計讀數(shù) h 。試求p_a一p_b = ?

【 解 】 過ρ與ρ_hg 兩液體分界面 c 作水平面 cd. p_c = p_d

應用靜力學基本方程時，首先應找等壓面，在重力作用下，等壓面一定是水平面。但不是由同種液體連通的水平面上的點，壓強是不同的。例如圖 6-2-7 中的 e 與 f 點.

【 例 6 -2-4 】  兩種容重不同互不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態(tài)，一般是重的在下，輕的在上，兩種液體之間形成分界面，試證明這種分界面既是水平面又是等壓面。

【 解 】 如圖 6-2-8 所示，設分界面不是水平面而是傾斜面，如圖中虛線所示。在分界面上任選 1 , 2 兩點，其深度差為 △h，從分界面上、下兩方分別求其壓差為

       

因ρ₂＞ρ₁、ρ₂一ρ₁＞ 0 ，要滿足上式必然是△h = 0即分界面是水平面。將△h = 0代人，得 △p = 0 ，所以分界面就是等壓面。

 

 

三、靜止液體作用在平面上的總壓力

圖 6-2-9 中 ab是與水平面成a角的一個傾斜平面的投影線，右面的圖形為 ab 面的實際形狀。設在受壓面 ab 上任取一微小面積 da ，其中心在液面下的深度為h ，則作用在 da 上的壓力為：

作用在 ab平面上的液體總壓力

式中  h_c —― 受壓面形心 c 在液面（相對壓強為零的自由表面）下的深度；

a ―— 受壓面的面積；

ρ一一 作用在受壓面上的液體的密度；

p_c—― 受壓面形心的壓強，一般用相對壓強。這樣求出的總壓力為液體作用在受壓面的總壓力，不包括大氣壓強對該平面的壓力。

   

如果繪出 ab 面上的壓強分布圖，見圖 6-2-10 ,

就等于壓強分布圖的體積。當ab 受壓面為任意圖形時，壓強分布圖為  以 ab 為底ρgh為高的截頭棱柱體，其體積可用式（ 6-2-7 ）求出。但若 ab 面為 b ×h的矩形（ b 為水平線），以上截頭棱柱體又可視作以壓強分布圖為底、頂， b 為高的棱柱體體積?？梢愿鼮橹庇^地計算出作用在矩形受壓面上的總壓力。設壓強分布圖面積為ω（圖中為梯形），則 p =ω· b

液體總壓力的作用點（壓力中心）位置可用合力矩定理確定。取圖 6-2-9 上的ox為力矩軸，微小面積 da 上的液體壓力對ox軸的力矩

將對ox軸的慣性矩轉(zhuǎn)化為對通過受壓面形心c且與ox軸平行的c軸的貫性矩：

可求得壓力中心的公式

式中 y_d ——― 壓力中心 d 沿 y 軸方向至液面（ox軸）的距離；

y_c  ——― 受壓面形心 c 沿 y 軸方向至液面（ ox軸）的距離；

i_c   ——― 受壓面對c軸的慣性矩。

【 例6-2-5 】 一鉛直矩形閘門（圖 6-2-11 ) ，已知 h₁ 為 lm ；h₂為 2m ，寬 b 為 1.5m , 求總壓力及其作用點。

【例 6-2 – 6】  圖 6-2-12 所示矩形閘門 ab ，門寬 b = 2m ，求總壓力及其作用點。

 

 

四、靜止液體作用在曲面上的總壓力

在工程中常常會遇到曲面受壓問題，如弧形間門，圓柱形油箱等。作用在曲面任意點的液體靜壓強都沿其作用面的內(nèi)法線方向垂直于作用面，但曲面各處的內(nèi)法線方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一點。因此，求曲面上的總壓力時，一般將其分為水平方向和鉛直方向的分力分別進行計算?，F(xiàn)研究二向曲面（如柱面、圓弧曲面） ab 上的液體總壓力。圖 6-2-13ab 為垂直于紙面的柱體，長度 l ，受壓曲面 ab ，其左側(cè)承受液體的壓力。設在曲面土，深度 h 處取一微小面積 da ，作用在 da 上的壓力 dp= pda = ρghda ，該力垂直于面積 da ，并與水平面成夾角a，此力可分解成水平分力 dp_x= dpcosa = ρgh dacosa和垂直分力 dp_z= dp sina =ρgh dasina .因為 dacosa 和dasina 分別等于微小面積 da 在鉛直面和水平面上的投影．令 da_x = dacosa， da _z = dasina，所以 dp_x =ρgh da_x 及 dp_z=  ρgh da_z ，經(jīng)積分可得：

式（ 6-2-9 ）右邊的積分等于曲面 ab 在鉛直平面上投影面積 a_x 對液面的水平軸 oy 的靜矩. 設 h_c 為 a _x 的形心在液面下的淹沒深度，則

可見，作用于曲面上的液體總壓力p的水平分力p_x等于該曲面的鉛直投影面上的總壓力。因此，可以引用求平面總壓力的方法求解曲面上液體總壓力的水平分力。

式 （6-2-10）右邊的 hda_z , 是以 da_z 為底面積，水深h為高的柱體體積。hda_z即受壓曲面 ab 與其在自由面上的投影面積cd這兩個面之間的柱體體積 abcd ，稱為壓力體，以 v 表示。所以

這就是說，作用于曲面上液體總壓力p的鉛直分力p_z等于其壓力體內(nèi)的液體重量。可見正確繪制壓力體是求解鉛直分力的關鍵.

壓力體是由三種面封閉所成的體積：即 1 ）曲面本身； 2 ）液體的自由表面（相對壓強為零）或自由表面的延長面； 3 ）自曲面兩端向自由表面作鉛垂面。p_z的指向取決于受壓曲面和液體的相對位置：液體在受壓曲面的上方則p_z向下；液體在受壓曲面的下方則p_z向上。求出p_x和 p_z 后可求p

    其作用線必通過p_x與p_z作用線的交點。p的作用點位于 p 的作用線與曲面的交點. 但對許多實際問題往往只需求出p_x，p_z．即可，并不需要計算合力p。

 

【 例 6-2 -7 】 長度為 1m 的半圓柱（圖 6-2-14 ) ，直徑 d 為 3m ，左、右側(cè)均有水，求 a b曲面上的總壓力。

【 解 】（ 1 ）水平分力:

曲面 ab 的水平分力p_x等于作用在曲面 ab 的豎直投影面上的液體總壓力為矩形，由于左、右側(cè)均有水，應用求壓強分布圖體積的方法比較直觀、簡便。見圖 6-2-14( a ) ，分別作左側(cè)和右側(cè)的壓強分布圖。由于左、右側(cè)壓強方向相反，抵消后剩下

c面上的三角形壓強分布圖和 c面上的矩形壓強分布圖。計算以上壓強分布圖的面積再乘以圓柱體長度 〔 垂直于紙面方向） lm 可得到壓強分布圖體積，即為所求的 p_x .

   

( 2 ）豎直分力  作壓力體圖見圖 6-2-14 ( b ）。由于 ab 曲面的土半段與下半段繪制壓力體時有重合部分，易混淆，故應以最大輪廓點 c 為分界，將其分為上半段 ac 與下半段 cb ，分別繪制其壓力體圖。又由于左、右側(cè)均有水，故還需分別繪制左側(cè)和右側(cè)的壓力體圖。圖 6-2-14 ( b ）中， ( l ）為 ac 受左側(cè)水壓力的壓力體圖； ( 2 ）為 cb 受左側(cè)水壓力的壓力體圖； ( 3 ）為 cb 受右側(cè)水壓力的壓力體圖（右側(cè)水對 ac 無壓力）。將三者疊加，方向相反的部分抵消后，剩下的壓力體圖見（ 4 ）。計算 p_z 。

p與水平的夾角

由于 ab 為圓弧面，合力p垂直于 ab 則應通過圓心，過圓心作與水平成 27.6°的直線即為p的作用線，其與曲面 ab 交于 d 點， 可求得 d 點水深h_d = ＋ sin 27.6°= 2.2m 。

【 例 6-2 - 8 】圖 6-2- 15 所示一球形容器由兩個半球面鉚接而成，鉚釘有n個，內(nèi)盛密度為 ρ 的液體，求每一鉚釘所受的拉力。

 

【 解 】 鉚釘受的拉力應等于上半球所受的液體總壓力（水平分力為零，只有豎直分力）。

繪出上半球的壓力體圖：壓力體由 l ）上半球面； 2 ）自由表面，此處應為過測壓管自由液面（相對壓強為零）的延長面． 3 ）過上半球周界向自由面的延長而所作的鉛垂面，此處即為圓柱面。這樣，上半球壓力體如圖示（豎直線所示）。壓力體體積為以 r 為半徑以 h + r 為高的圓柱體減去以 r 為半徑的半球：