第十節(jié)　組合變形

本節(jié)大綱要求：拉/壓-彎組合、彎-扭組合情況下桿件的強(qiáng)度校核；斜彎曲。

一、概述

（一）組合變形

什么是組合變形：桿件在外力作用下，同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上的同一數(shù)量級(jí)的基本變形，稱為組合變形。

（二）組合變形強(qiáng)度計(jì)算的步驟

在小變形和材料服從虎克定律的前提下，可以認(rèn)為組合變形中的每一種基本變形都是各自獨(dú)立、互不影響的。因此對(duì)組合變形桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，可以應(yīng)用疊加原理，采用先分解而后疊加的方法。其基本步驟是：

1．將作用在桿件上的荷載進(jìn)行簡(jiǎn)化與分解(橫向力向截面的彎曲中心簡(jiǎn)化，并沿截面的形心主慣性軸方向分解；而縱向力則向截面形心簡(jiǎn)化)，使簡(jiǎn)化后每一組荷裁只產(chǎn)生一種基本變形。

2．分別計(jì)算桿件在各個(gè)基本變形下的應(yīng)力。

3．將各基本變形情況下的應(yīng)力疊加，便得在組合變形下桿件的總應(yīng)力。

4．根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，建立強(qiáng)度條件，選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

二、斜彎曲

圖5-10-1

（一）受力特征與變形特征

受力特征：橫向力(或力偶)的作用線(作用面)通過(guò)橫截面的彎曲中心，但不平行于梁的形心主慣性平面。

變形特征  彎曲平面與荷載作用平面不平行。

（二）應(yīng)力計(jì)算

圖5-10-2

    如圖5—10—2所示，任意橫截面上任意點(diǎn)(y，z)的應(yīng)力為

（三）中性軸位置

由σ=0條件確定

式中  φ為外力作用線與y軸的夾角。

一般情況下，梁橫截面的兩個(gè)形心主慣矩并不相等，i_y≠i_z，故α與φ不等，即中性軸與合彎矩矢量方向不平行(即中性軸不垂直荷載作用面)，這是斜彎曲區(qū)別于平面彎曲的特點(diǎn)之一。

（四）強(qiáng)度條件

距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)。若截面具有棱角，則棱角點(diǎn)是危險(xiǎn)點(diǎn)；無(wú)棱角的截面，應(yīng)先確定中性軸的位置，再找到最遠(yuǎn)點(diǎn)(截面周邊l平行巾性軸的切點(diǎn)處)。危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)。

設(shè)危險(xiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(y_l，z₁)，則強(qiáng)度條件為

或

m_y、m_x不在同一截面達(dá)到最大值時(shí)，應(yīng)試算m_y、m_z較大的幾個(gè)截面，才能確定危險(xiǎn)截面。若材料的許用拉、壓應(yīng)力不同[σ_t]≠[σ_c]，則拉、壓強(qiáng)度均應(yīng)滿足。

（五）變形計(jì)算

    先分別求出p_y、p_x產(chǎn)生的撓度v_y、v_x，然后幾何合成，得

總撓度v與y軸的夾角為

    一般情況下，i_y≠i_z，故β≠φ

所以彎曲平面不平行荷載作用面。但β=|α|，中性軸垂直彎曲平面。

三、拉伸或壓縮與彎曲的組合變形

（一）軸向力與橫向力聯(lián)合作用

    圖5—l0—3所示ab梁同時(shí)受軸向拉力p及橫向分布荷載q作用。

圖5-10-3

任一橫截面上的內(nèi)力中：

由軸向力引起軸力n；由橫向力引起彎矩m_z、剪力q_y。

橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為

圖示a截面為危險(xiǎn)截面，上邊緣點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件為

對(duì)于脆性材料，則應(yīng)分別校核其抗拉和抗壓強(qiáng)度。對(duì)于塑性材料取σ_tmax、σ_cmax中絕對(duì)值最大者校核強(qiáng)度。

（二）偏心壓縮(或拉伸)  

圖5-10-4

圖5—10—4所示桿件受偏心壓力(或拉力)作用時(shí)，將同時(shí)產(chǎn)生軸向壓縮(拉伸)和平面彎曲兩種基本變形。

1．任一截面上的內(nèi)力分量為

軸力                          n=－p

彎矩

2，應(yīng)力計(jì)算

任一點(diǎn)k(y,z)的應(yīng)力為

式中

偏心拉伸時(shí)，p用負(fù)值代入即可。

3、中性軸位置

橫截面中心軸位置由σ=0確定，中性軸為一條不通過(guò)截面形心的直線。

式中  (z₀，y₀)為中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)。

    中性軸在y、z軸上的截距分別為

式中負(fù)號(hào)表明，截距a_y、a_z分別與外力作用點(diǎn)位置y_p、z_p反號(hào)，即中性軸與外力作用點(diǎn)  分別處于形心的兩側(cè)。   

4．強(qiáng)度條件

危險(xiǎn)點(diǎn)位于距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處。若截面有棱角，則危險(xiǎn)點(diǎn)必在棱角處；若截面無(wú)棱角則在截面周邊上平行于中性軸的切點(diǎn)處。危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為

若材料的[σ_t]>[σ_c]，則最大拉應(yīng)力點(diǎn)與最大壓應(yīng)力點(diǎn)均需校核。

5．截面核心

定義  截面形心周圍的一個(gè)區(qū)域，當(dāng)偏心荷載作用于該區(qū)域時(shí)，截面上只出現(xiàn)一種應(yīng)    力。

計(jì)算公式  確定截面核心，由與截面周邊相切的中性軸截距，求外力作用點(diǎn)的位置，即

 

 

四、扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合

    當(dāng)構(gòu)件同時(shí)承受扭轉(zhuǎn)力偶和橫向力作用時(shí)，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。

（一）應(yīng)力計(jì)算

    若某一截面上內(nèi)力分量有扭矩m_t， 以及兩相互垂直平面內(nèi)的彎矩m_y、和

 m_z，剪力v_y、v_z通常略去不計(jì)。則該 截面上任一點(diǎn)(y，z)處的應(yīng)力分量有扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ，及彎曲正應(yīng)力σ。若構(gòu)件的橫截面為圓形或空心圓截面。由于過(guò)圓形或空心圓截面形心的任一軸均為形心主慣性軸，故可先計(jì)算合成彎矩

然后，再按平面彎曲，計(jì)算正應(yīng)力。

（二）強(qiáng)度條件

危險(xiǎn)點(diǎn)及其應(yīng)力狀態(tài)

危險(xiǎn)點(diǎn)位于合成彎矩作用平面與橫截面相交的截面周邊處。其應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)。

強(qiáng)度條件

對(duì)于塑性材料，選用第三或第四強(qiáng)度理論，其強(qiáng)度條件分別為

式中

  

 

[例5-10-1]  截面為矩形b×h：90mm×180mm的懸臂木梁，承受荷載p_l=lkn，p₂=1．6kn，如下圖所示，木材的e=i×l0⁴mpa。試求

l．梁內(nèi)最大正應(yīng)力及其作用點(diǎn)位置；

2．粱的最大撓度。

  [解]  1．最大正應(yīng)力

  危險(xiǎn)截面在固定端處，其彎矩為

危險(xiǎn)點(diǎn)為固定端截面上的d_１點(diǎn)和d₂點(diǎn)，其正應(yīng)力為

其中d_l點(diǎn)為拉應(yīng)力，d₂點(diǎn)為壓應(yīng)力。

    2．最大撓度

    最大撓度發(fā)生在自由端截面

（力p1造成的繞度和p2造成的繞度之和。計(jì)算公式參考5.8節(jié)中的內(nèi)容-教材99頁(yè)）

    [例5-10—2]  矩形截面短柱承受荷載p1、p2作用如下圖所示。試求固定端截面上角點(diǎn)a、b、c及d處的正應(yīng)力，并確定該截面中性軸的位置。

    [解]  1．固定端截面的內(nèi)力分量

2.各點(diǎn)應(yīng)力

3．中性軸位置

設(shè)(y_o、z_o)為中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，則有

得中性軸方程

中性軸與y、z軸的截距

中性軸位置如圖(b)所示。

 

第十一節(jié)　壓桿穩(wěn)定

本節(jié)大綱規(guī)定的要求：壓桿的臨界載荷；歐拉公式；柔度；臨界應(yīng)力總圖；壓桿的穩(wěn)定性校核。

一、壓桿穩(wěn)定性的概念

（一）壓桿的穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡

    穩(wěn)定平衡： 桿在軸向壓力作用下，當(dāng)外加干擾撤除后若仍能恢復(fù)原有直線形狀的平衡，則桿件原來(lái)直線形狀的平衡是穩(wěn)定平衡。

    不穩(wěn)定平衡：桿在軸壓力作用下，當(dāng)外加干擾撤除后若不能恢復(fù)原有直線形狀的平衡，仍保持微彎狀態(tài)的平衡，則桿件原來(lái)的直線形狀的平衡是不穩(wěn)定平衡。

（二）壓桿的失穩(wěn)與臨界力

    失穩(wěn)：壓桿喪失其原有的直線形狀的平衡而過(guò)渡為微彎狀態(tài)的平衡的現(xiàn)象。

臨界力 ：壓桿保持直線形狀的平衡為穩(wěn)定平衡時(shí)，軸壓力的最大值，也即壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小壓力。

二、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式

細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式為

式中  e——材料的彈性模量；

i——壓桿失穩(wěn)而彎曲時(shí)，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；

l——壓桿長(zhǎng)度；

μ——長(zhǎng)度系數(shù)，與桿兩端的約束條件有關(guān)，常見的各種支承方式的長(zhǎng)度系數(shù)見下表。

 

三、歐拉公式適用范圍

（一）臨界應(yīng)力

  在臨界應(yīng)力作用下，壓桿橫截面上的應(yīng)力

 

    柔度參數(shù)綜合反映了桿端約束、桿的長(zhǎng)度、截面形狀和尺寸等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響，λ是一個(gè)無(wú)量綱量。

    壓桿柔度越大，臨界應(yīng)力就越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。若壓桿在兩個(gè)形心主慣性平面內(nèi)的柔度不同，則壓桿總是在柔度較大的那個(gè)形心主慣性平面內(nèi)失穩(wěn)。

（二）歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)桿件彎曲變形的近似撓曲線微分方程式導(dǎo)出的，僅適用于小變形、線彈性范圍的壓桿，即臨界應(yīng)力σ_cr應(yīng)小于材料的比例極限σ_p

用柔度表示

  λ_p是壓桿能夠應(yīng)用歐拉公式的最小柔度，其值取決于壓桿材料的彈性模量e和比例極限σ_p。例如，對(duì)于(q235)鋼，e=2．06×10⁵mpa，σ_p=200mpa。  

則

用q235鋼制成的壓桿，只有當(dāng)λ≥100時(shí)，才可以使用歐拉公式。

 

四、臨界應(yīng)力總圖

根據(jù)壓桿柔度λ的大小，壓桿可以分為三種類型，分別按不同的公式來(lái)計(jì)算臨界應(yīng)力。

細(xì)長(zhǎng)桿(大柔度桿)，λ≥λ_p

中長(zhǎng)桿(中柔度桿)，λ_p≥λ≥λ₀

直線型經(jīng)驗(yàn)公式

式中 a、b均是與材料有關(guān)的常數(shù)。

粗短桿(小柔度桿) λ≤λ₀

實(shí)際上就是強(qiáng)度問(wèn)題。

工程上還應(yīng)用一種拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式

式中  a₁、b₁、λ_c均與材料有關(guān)的常數(shù)。

    臨界應(yīng)力總圖：表示壓桿臨界應(yīng)力σ_cr隨不同柔度λ的變化規(guī)律的圖線(圖5—11-1)。

五、壓桿穩(wěn)定校核

（一）安全系數(shù)法

  穩(wěn)定條件： 壓桿具有的工作安全系數(shù)n應(yīng)不低于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)n_st

    即

式中  p_cr———壓桿的臨界壓力；

    p——壓桿承受的工作壓力；

   n_st——規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。

（二）折減系數(shù)法

穩(wěn)定條件：壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力乘以考慮穩(wěn)定的折減系數(shù)。

即

式中  φ為折減系數(shù)，是小于1的一個(gè)系數(shù)，它綜合考慮了柔度λ對(duì)臨界應(yīng)力σ_cr、穩(wěn)定安全系數(shù)n_st的影響，所以φ也是λ的函數(shù)。常用材料的φ值可查閱工程手冊(cè)。

 

六、提高壓桿穩(wěn)定性的措施

（一）減小壓桿的柔度

    1．選擇合理的截面形狀。

    2，加強(qiáng)約束，減小壓桿的長(zhǎng)度。

    3．改善桿端支承條件。

（二）合理選用材料

 

 [例5—11－l ] 兩端為球鉸支承的等直壓桿，其橫截面分別為圖5—11－2所示。試問(wèn)壓桿失穩(wěn)時(shí)，桿件將繞橫截面上哪一根軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

 [解]  壓桿失穩(wěn)時(shí)，將發(fā)生彎曲變形。由于桿端約束在各個(gè)方向相同，因此，壓桿將在抗彎剛度為最小的平面內(nèi)失穩(wěn)，即桿件橫截面將繞其慣性矩為最小的形心主慣性軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示。

[例5-11—2]  兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度l＝1200mm，材料為q235鋼，e＝2x10⁵mpa，截面面積a=900mm²。若截面形狀為(1)正方形，(2)d／d=0．7的空心圓管。求各桿的臨界壓力。

[解]  1．正方形截面

計(jì)算柔度

a₃鋼λ_p≈100,λ>λ_p屬細(xì)長(zhǎng)桿

可以用歐拉公式計(jì)算臨界壓力

所以

屬細(xì)長(zhǎng)桿

2．空心圓截面

由

得

所以柔度

q235鋼

由直線型經(jīng)驗(yàn)公式

本題中二桿的截面積、桿長(zhǎng)和支承方式均相同，只是截面形狀不同。它們的柔度也不同，臨界壓力隨柔度的減小而增大。

這里需要注意，對(duì)于給定的壓桿，計(jì)算臨界應(yīng)力時(shí)應(yīng)先計(jì)算柔度λ，根據(jù)值判斷壓桿類型，然后選擇相應(yīng)的臨界應(yīng)力公式，切忌不加判斷就直接采用歐拉公式計(jì)算。

 [例5－11－3]  圖5－11—3所示托架中的ab桿，直徑d＝40mm，長(zhǎng)度l＝800mm，兩端鉸支，材料為q235鋼，cd桿為剛性桿。

 1．試求托架的極限荷載q_max。

2．若工作荷載q=70kn，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)n_st=2，試問(wèn)此托架是否安全。

[解)  1．受力分析

取cd桿為脫離體，由平衡條件，∑m_c=0，

  2．ab桿的臨界力

  計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比

  若用直線公式計(jì)算臨界應(yīng)力（臨界力乘以桿體面積）

  則臨界力

  3．托架的極限荷載

將n=n_cr代入n=2.27q

即得

4．托架穩(wěn)定校核

q＝70kn時(shí)，托架的工作安全系數(shù)

所以，托架穩(wěn)定性不足