5.8彎曲變形

一、粱的撓度與轉(zhuǎn)角

（一）撓曲線

在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣膹椥郧€，梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。

在平面彎曲下，撓曲線為梁形心主慣性平面內(nèi)的一條平面曲線v=f(x)(見圖5-8-1)。

（二）撓度與轉(zhuǎn)角

    梁彎曲變形后，梁的每一個橫截面都要產(chǎn)生位移，它包括三部分：

1. 撓度 ：梁橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為撓度，記作v。沿梁軸各橫截面撓度的變化規(guī) 律，即為梁的撓曲線方程。

v=f(x)

2．轉(zhuǎn)角： 橫截面相對原來位置繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角，記作θ。小變形情況下，

 3．此外，橫截面形心沿梁軸線方向的位移，小變形條件下可忽略不計。

(三)撓曲線近似微分方程

  在線彈性范圍、小變形條件下，撓曲線近似微分方程為

上式是在圖5—8—l所示坐標系下建立的。撓度v向下為正，轉(zhuǎn)角θ順時針轉(zhuǎn)為正。

二、積分法計算梁的位移

根據(jù)撓曲線近似微分方程(5—8—1)，積分兩次，即得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，即由

式中  積分常數(shù)c、d，可由梁的邊界條件來確定。當梁的彎矩方程需分段列出時，撓曲 線微分方程也需分段建立，分段積分。于是全梁的積分常數(shù)數(shù)目將為分段數(shù)目的兩倍。為了確定全部積分常數(shù)，除利用邊界條件外，還需利用分段處撓曲線的連續(xù)條 件(在分界點處左、右兩段梁的轉(zhuǎn)角和撓度均應(yīng)相等)。

三、用疊加法求梁的位移

（一）疊加原理

  幾個荷載同時作用下梁的任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角等于各個荷載單獨作用下同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的總和。

（二）疊加原理的適用條件

  疊加原理僅適用于線性函數(shù)。要求撓度、轉(zhuǎn)角為梁上荷載的線性函數(shù)，必須滿足：

  1．材料為線彈性材料；

  2．梁的變形為小變形；

  3．結(jié)構(gòu)幾何線性。

（三）疊加法的特征

  1．各荷載同時作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角等于單獨作用下?lián)隙?、轉(zhuǎn)角的總和，應(yīng)該是幾何和，同一方向的幾何和即為代數(shù)和。

2．梁在簡單荷載作用下的撓度、轉(zhuǎn)角應(yīng)為已知或可查手冊。

3．疊加法適宜于求梁某一指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

疊加法求梁變形的主要步驟是：首先分解荷載，使之成為幾個只作用一個荷載的簡單梁，再計算或從材料力學(xué)教材的典型變形表上查得各簡單梁的變形，最后疊加到總變形。

   [例 5—8—1]  用積分法求圖5—8—3所示各梁的撓曲線方程時，試問應(yīng)分為幾段?將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)? 并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。

    [解]  

. (a)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為 

連續(xù)條件為

    (b)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為

式中  k為彈簧的剛度。

連續(xù)條件為

(c)撓曲線方程應(yīng)分為兩段，共有四個積分常數(shù)。

邊界條件為

連續(xù)條件為

分析與討論

(1)凡荷載有突變處、有中間支承處、截面有變化處或材料有變化處，均應(yīng)作為分段點。

(2)中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點。

(3)各分段點處都應(yīng)列出連續(xù)條件。根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角值。在中間鉸處，雖然兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。

[例5-8-2]  試用疊加法求圖5-8—4所示外伸梁外伸端c點的撓度v_c和轉(zhuǎn)角θ_c。

 

    

    [解]  將荷載分解為b)、(c)、(d)三種情況，每種情況下的轉(zhuǎn)角、撓度可查表得到：

由疊加原理：

第九節(jié)　應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論

本節(jié)大綱要求:平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和應(yīng)力圓法；主應(yīng)力和最大切應(yīng)力；廣義虎克定律；四個常用的強度理論。

一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

（一）一點的應(yīng)力狀態(tài)

  通過受力構(gòu)件內(nèi)一點的所有截面上的應(yīng)力情況稱為一點的應(yīng)力狀態(tài)。

（二）一點的應(yīng)力狀態(tài)的表示法——單元體

圍繞所研究的點，截取一個邊長為無窮小的正六面體，用各面上的應(yīng)力分量表示周圍材料對其作用。稱為應(yīng)力單元體。

    特點：

1．單元體的尺寸無限小，每個面上的應(yīng)力為均勻分布。

2．單元體表示一點處的應(yīng)力，故相互平行截面上的應(yīng)力相同。

（三）主平面、主應(yīng)力、主單元體

主平面：單元體中剪應(yīng)力等于零的平面。

主應(yīng)力： 主平面上的正應(yīng)力。

可以證明：受力構(gòu)件內(nèi)任一點，均存在三個互相垂直的主平面。三個主應(yīng)力用σ_l、σ₂

和σ₃表示，且按代數(shù)值排列即σ_l>σ₂>σ₃。

  主單元體： 用三對互相垂直的主平面取出的單元體。

（四）應(yīng)力狀態(tài)的分類

根據(jù)主單元體上三個主應(yīng)力中有幾個是非零的數(shù)值，可將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：

1．單向應(yīng)力狀態(tài)  只有一個主應(yīng)力不等于零。

2．二向應(yīng)力狀態(tài)  有兩個主應(yīng)力不等于零。

3．三向應(yīng)力狀態(tài)  三個主應(yīng)力都不等于零。

單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。單向及二向應(yīng)力狀態(tài)又稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。

二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

    平面應(yīng)力狀態(tài)通常用單元體中主應(yīng)力為零的那個主平面的正投影表示如圖5—9—1所示。

（一）任意斜截面上的應(yīng)力

    若已知一平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy,則與x軸成a^。角的斜截面上的應(yīng)力分量為

式中  正應(yīng)力σ以拉應(yīng)力為正；剪應(yīng)力τ以對單元體產(chǎn)生順時針力矩者為正，α角以逆時 針轉(zhuǎn)向為正。

（二）主平面 、主應(yīng)力

主平面的方位角α₀

 

主應(yīng)力

考慮到單元體零應(yīng)力面上的主應(yīng)力為零，因此

    單元體中互相垂直的兩個截面上的正應(yīng)力之和為常量，即

式中   β=α+90°。

（三）主剪應(yīng)力及其作用面

作用面方位角α₁

數(shù)值

必須說明：

1．主剪應(yīng)力τ_xy主是單元體上垂直于零應(yīng)力面所有截面上剪應(yīng)力的極大值和極小值。并不一定是該點的最大和最小剪應(yīng)力。

2．主剪應(yīng)力作用面(主剪面)與主平面成45°角，即

 

三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的應(yīng)力圓法

（一）應(yīng)力圓方程

    在平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy下，任意斜截面上的應(yīng)力σ_σ與τ_σ間的關(guān)系式為一個圓方程。

  圓心

圓半徑

（二）應(yīng)力圓作法

若已知一平面應(yīng)力狀態(tài)σ_x、σ_y、τ_xy，則取橫坐標為σ軸、縱坐標為τ軸，選定比例尺；  由(σ_x，τ_xy)確定點d_x，(σ_y，τ_yx)確定點d_y；連接d_xd_y交σ軸于c，以c為圓心，或為半徑作圓，即得相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓。

（三）應(yīng)力圓與單元體之間的對應(yīng)關(guān)系

  以上對應(yīng)關(guān)系可概括為“點面對應(yīng)，轉(zhuǎn)向相同，夾角兩倍”。

四、一點的最大正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力

  一點的最大正應(yīng)力為

一點的最大剪應(yīng)力為

其作用平面與σ₂方向平行且與σ₁、σ₃的作用面分別成45°。

五、廣義虎克定律

對于各向同性材料，小變形條件下，正應(yīng)力僅引起線應(yīng)變，剪應(yīng)力僅引起相應(yīng)的剪應(yīng)變，所以應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系為

三向主應(yīng)力狀態(tài)下，主應(yīng)力與主應(yīng)變的關(guān)系為

平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

上列式中，e為彈性模量，v為泊松比，g為剪變模量。

六、強度理論

（一）強度理論的概念  

    1．材料破壞的兩種類型

    材料破壞型式不僅與材料本身的材質(zhì)有關(guān)，而且與材料所處的應(yīng)力狀態(tài)、加載速度溫度環(huán)境等因素有關(guān)。材料在常溫、靜載荷下的破壞型式主要有以下兩種：

脆性斷裂  材料在無明顯變形下的情況下突然斷裂。

塑性屈服(流動)  材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。

2．強度理論

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)，稱為強度理論。

研究強度理論的目的，在于利用簡單應(yīng)力狀態(tài)下的實驗結(jié)果，來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。

（二）四個常用的強度理論

四個常用強度理論的強度條件可以統(tǒng)一地寫成

式中  σ_r稱為相當應(yīng)力，其表達式為

第一強度理論(最大拉應(yīng)力理論)    σ_r1＝σ₁

第二強度理論（最大拉應(yīng)變理論）σ_r2＝σ₁－ν(σ₁+σ₂)

第三強度理論（最大切應(yīng)力理論）σ_r3＝σ₁－σ₃

第四強度理論（最大形狀改變比能理論）

（5-9-15）

    [σ]為材料的許用應(yīng)力。

    對于工程上常見的一種二向應(yīng)力狀態(tài)如圖5—9—3所示，其特點是平面內(nèi)某一方向的正應(yīng)力為零。設(shè)σ_y=0，則該點的主應(yīng)力為

代入(5—9-15)式得：

第三強度理論(最大切應(yīng)力理論)的相當應(yīng)力為

第四強度理論(形狀改變比能理論)的相當應(yīng)力為

最大拉應(yīng)力理論、最大拉應(yīng)變理論是關(guān)于脆性斷裂的強度理論；最大切應(yīng)力理論、形狀改變比能理論是關(guān)于塑性屈服的強度理論。

強度理論的選用

在三向拉應(yīng)力作用下，材料均產(chǎn)生脆性斷裂，故宜用第一強度理論；而在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，材料均產(chǎn)生屈服破壞，故應(yīng)采用第三或第四強度理論。當材料處于二向應(yīng)力狀態(tài)作用下時：

脆性材料易發(fā)生斷裂破壞，宜用第一或第二強度理論；

    塑性材料易發(fā)生塑性屈服破壞，宜用第三或第四強度理論。

    [例5-9-1]  已知構(gòu)件上某點的應(yīng)力單元體如圖5-9-4(a)，(b)所示(圖中應(yīng)力單位為mpa)。試求指定斜截面上的應(yīng)力。

    [解]  圖示單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)。（先整理基礎(chǔ)參數(shù)）

(1)在圖示坐標中

代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得

 σ_α、τ_σ方向如圖中所示。

(2)在圖示坐標中，

σ_α、τ_σ方向如圖中所示。