第三節(jié) 剪切

本節(jié)大綱要求是：剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算；剪切面；擠壓面；剪切強(qiáng)度；擠壓強(qiáng)度。

一、剪切的實(shí)用計(jì)算

（一）剪切的概念

力學(xué)模型如圖5—3—1所示。

受力特征：構(gòu)件上受到一對(duì)大小相等、方向相反，作用線相距很近且與構(gòu)件軸線垂直的力作用。

變形特征：構(gòu)件沿兩力的分界面有發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)。

剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的面。

剪力v：剪切面上的內(nèi)力。其作用線與剪切面平行。

（二）剪切實(shí)用計(jì)算

名義剪應(yīng)力：假定剪應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的。若a_v為剪切面面積，v為剪力，則

許用剪應(yīng)力：按實(shí)際構(gòu)件的受力方式，用試驗(yàn)的方法求得名義剪切極限應(yīng)力τ_o，再除以安全系數(shù)n。

剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作剪應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力

擠壓的實(shí)用計(jì)算

（一）擠壓的概念

擠壓：兩構(gòu)件相互接觸的局部承壓作用。

擠壓面：兩構(gòu)件間相互接觸的面。

擠壓力p_bs：承壓接觸面上的總壓力。

（二）擠壓實(shí)用計(jì)算

名義擠壓應(yīng)力：假設(shè)擠壓力在名義擠壓面上均勻分布。

式中 a_bs為名義擠壓面面積。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，則名義擠壓面面積等于實(shí)際的承壓接觸面面積；當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)，則名義擠壓面面積取為實(shí)際承壓接觸面在垂直擠壓力方向的投影面積。

許用擠壓應(yīng)力：根據(jù)直接試驗(yàn)結(jié)果，按照名義擠壓應(yīng)力公式計(jì)算名義極限擠壓應(yīng)力，再除以安全系數(shù)。

擠壓強(qiáng)度條件：擠壓面的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力。上述提到的主要是一些概念性的理論。下面我們看一個(gè)例題，08年的考題。

[例5—3—1] 某接頭部分的銷釘如圖5—3—3所示。試計(jì)算銷釘?shù)募魬?yīng)力τ和擠壓應(yīng)力σ_bs。

[解]由圖可見，銷釘所受軸向拉力p將在釘頭內(nèi)形成一個(gè)高度為h=12mm，直徑為d=32mm的圓柱形剪切面和一個(gè)外直徑為d=45mm，內(nèi)直徑為d₀=34mm的環(huán)形擠壓面。

由平衡條件得（剪力和擠壓力）

v=p=100kn

p=p_bs=100kn

所以，剪應(yīng)力

擠壓應(yīng)力

[例5—3－2] 圖5—3－4所示接頭是由中間鋼板(主板)通過(guò)上下兩塊鋼蓋板對(duì)接而成。鉚釘與鋼板材料相同， [τ]=130mpa，[σ_bs]=300mpa，[σ]=170mpa；鉚釘直徑d=20nm，主板厚度t₁=10mm，蓋板厚t₂=6mm，主、蓋板的寬度b=200mm。若p=200kn。試校核該接頭的強(qiáng)度。

[解]

1．校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度

p力由主板傳給鉚釘，再由鉚釘傳給蓋板。當(dāng)鉚釘直徑相同，且外力作用線通過(guò)鉚釘群截面的形心時(shí)，假設(shè)各鉚釘?shù)氖芰ο嗤?。因此左?cè)鉚釘?shù)氖芰D如圖(b)所示。鉚釘有兩個(gè)剪切面。由平衡條件可得，

受剪面上的剪力

v=p/2n=p/2×5=p/10

剪切面面積

a_v=πd²/4

故

2．校核鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度

主板厚度小于兩塊蓋板厚度之和，故應(yīng)校核鉚釘與主板之間的擠壓強(qiáng)度，即

3．校核主鋼板的抗拉強(qiáng)度

畫出左邊主板的受力圖和軸力圖如圖(c)所示。校核i—i、ⅱ—ⅱ截面的抗拉強(qiáng)度。

對(duì)i—i截面：

對(duì)ⅱ—ⅱ截面：

4．校核蓋板的抗拉強(qiáng)度

蓋板受力圖和軸力圖如圖(d)所示。由圖可見ⅱ—ⅱ截面處軸力最大而截面積最小，

故ⅱ—ⅱ截面為蓋板的危險(xiǎn)截面，應(yīng)校核其抗拉強(qiáng)度，

所以，接頭強(qiáng)度足夠。

[例5-3-3] 圖5—3—5所示一托架。已知p=35kn，鉚釘?shù)闹睆?/span>d=20mm，鉚釘受單剪，求最危險(xiǎn)的鉚釘截面上剪應(yīng)力大小及方向。

[解]

1．受力分析

因?yàn)?/span>p力不通過(guò)鉚釘群截面形心，所以將力p向鉚釘群截面形心簡(jiǎn)化，得一力和一個(gè)力偶。

p’=p=35kn

m=p×e=35×225×10^-3=7.875knm

2．由于力p’通過(guò)鉚釘群形心作用，每個(gè)鉚釘受力相等，故每個(gè)鉚釘?shù)募袅?/span>

v’=v’₂=v’₃=v’₄=p/4=35/4kn

3．由于力偶m作用，每個(gè)鉚釘受力不等，其大小與該鉚釘離鉚釘群截面形心的垂直距離成正比，力的方向垂直于各鉚釘截面形心與釘群形心間的連線。則由

4．上述2、3兩項(xiàng)計(jì)算中每個(gè)鉚釘受到的兩個(gè)力的合力即為每個(gè)鉚釘?shù)氖芰Γ@見鉚

釘l、4受力最大

鉚釘1的剪應(yīng)力

方向如圖(c)所示。

下面講一個(gè)10年的考題。

第四節(jié) 扭轉(zhuǎn)

本節(jié)大綱要求內(nèi)容：扭矩和扭矩圖，圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力；切應(yīng)力互等定理；剪切虎克定律；圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件；扭轉(zhuǎn)角計(jì)算及剛度條件。

二、扭轉(zhuǎn)的概念

（一）扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型，如圖5-4-1所示。

受力特征：桿兩端受到一對(duì)力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相反，作用平面與桿件軸線相垂直的外力偶作用。

變形特征：桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

扭轉(zhuǎn)角φ ：桿件任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

（二）外力偶矩的計(jì)算

軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩間有如下關(guān)系：

式中傳遞功率n的單位：kw為千瓦，p_s為公制馬力(1p_s=735．5nm／s)；轉(zhuǎn)速n的單位為rpm(轉(zhuǎn)每分鐘)。教材中所講的外力偶矩的公式是m=9549*p_k/n，其實(shí)和上面的公式一樣，只是字母和單位不同，一個(gè)是kn.m，一個(gè)是n.m.

三、扭矩和扭矩圖

扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力，是一個(gè)在截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩稱為扭矩。一般用m_t（教材用t）表示，見圖5—4—2，其值用截面法求得。

扭矩符號(hào)：扭矩m_t的正負(fù)號(hào)規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，若矢量的指向與截面外向法線的指向一致時(shí)扭矩為正，反之為負(fù)。

扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

四、剪應(yīng)力互等定理和剪切虎克定律

（一）純剪切

若單元體各個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力稱為純剪切。

純剪切引起剪應(yīng)變γ，即相互垂直的兩線段間角度的改變。如下圖所示。

剪應(yīng)變γ ：在剪應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊間直角的改變量。單位為rad，無(wú)量綱。在材料力學(xué)中規(guī)定以單元體左下直角增大時(shí)，γ為正，反之為負(fù)。

（二）剪應(yīng)力互等定理

在互相垂直的兩個(gè)平面上，垂直于兩平面交線的剪應(yīng)力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線(上圖)。即

τ=-τ^‘

（三）剪切虎克定律

當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力τ與剪應(yīng)變γ成正比，即

τ=gγ

式中 g稱為材料的剪變（切變）模量。

對(duì)各向同性材料，材料的三個(gè)彈性常數(shù)e（彈性模量），g（剪變模量），ν（泊松比）有下列關(guān)系：

即e、g、ν間只有二個(gè)獨(dú)立常數(shù)。

五、圓桿（軸）扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

（一）橫截面上的剪應(yīng)力

1．剪應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力，其方向垂直于該點(diǎn)所在的半徑，其值與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，見圖5-4-3。

2．剪應(yīng)力計(jì)算公式：橫截面上距圓心為ρ的任一點(diǎn)的剪應(yīng)力為

橫截面上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊各點(diǎn)處，其值為

ip為截面的極慣性矩，wt為抗扭截面系數(shù)；

3．剪應(yīng)力公式的討淪

(1)公式適用于線彈性范圍(τ_max≤τ_p)，小變形條件下的等截面實(shí)心或空心圓直桿。

(2)m_t為所求截面上的扭矩。

(3)i_p稱為極慣性矩，wt稱為抗扭截面系數(shù)，對(duì)于實(shí)心圓截面（直徑為d）。

空心圓截面(外徑為d，內(nèi)徑為d)

其中

α=d/d

（二）圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件

強(qiáng)度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大剪應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用剪應(yīng)力，即

由強(qiáng)度條件可對(duì)受扭桿進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載三類問(wèn)題計(jì)算。

六、圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度條件

（一）圓桿的扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算

單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角-

扭轉(zhuǎn)角

若長(zhǎng)度l內(nèi)，m_t、g、i_p均為常量時(shí)

公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿。gi_p表示圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)彈性變形的能力，稱為抗扭剛度。

（二）圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件

剛度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角不得超過(guò)規(guī)定的許可值，即

由剛度條件，同樣可對(duì)受扭圓桿進(jìn)行剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載三類問(wèn)題的計(jì)算。下面來(lái)看一個(gè)例題。

[例5—4—1] 一傳動(dòng)軸如圖5－4—5所示。已知軸的直徑d=45mm，轉(zhuǎn)速n=300rpm，主動(dòng)輪輸入的功率n_a=36．7kw，從動(dòng)輪b、c、d輸出的功率分別為n_b=14．7kw、n_c=n_d=llkw；軸的材料為45號(hào)鋼，g=8×10⁴mpa，[τ]=40mpa，[θ]=2⁰／m。試校核軸的強(qiáng)度和剛度。