第五章 材料力學(xué)

第一節(jié)            緒論

一、        材料力學(xué)的任務(wù)

材料力學(xué)是一門(mén)重要的技術(shù)基礎(chǔ)課。它既是固體力學(xué)的入門(mén)課程，又是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)課程的重要基礎(chǔ)，材料力學(xué)的任務(wù)就是在構(gòu)件具有相應(yīng)承載能力的條件下以最經(jīng)濟(jì)的代價(jià)，為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸，選擇適當(dāng)?shù)牟牧?，為?gòu)件的設(shè)計(jì)提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。構(gòu)件在荷載作用下必須滿足以下條件。

強(qiáng)度-是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗破壞的能力。（即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)發(fā)生意外斷裂或不可恢復(fù)性變形）

剛度-是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗變形的能力。（即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的彈性變形-不超過(guò)工程的允許范圍）

穩(wěn)定性-是指構(gòu)件保持其原有平衡形式的能力。（即構(gòu)件在荷載作用下不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象）。

這里強(qiáng)調(diào)一下：材料力學(xué)所研究的僅限于材料的宏觀力學(xué)行為，其主要研究對(duì)象是彈性范圍內(nèi)的桿件；不涉及材料的微觀機(jī)理。

二、        變形固體的基本假設(shè)

在材料力學(xué)中經(jīng)常要用到基于簡(jiǎn)化、假定的理想化，即對(duì)物體的形狀、材料以及作用在物體上的荷載作某些與實(shí)際相近的簡(jiǎn)化或假定，使復(fù)雜問(wèn)題理想化。下面介紹關(guān)于材料理想化的幾個(gè)基本假定，即有關(guān)變形固體的基本假定。

各種構(gòu)件均由固體材料制成。固體在外力作用下將發(fā)生變形故稱(chēng)為變形固體。材料力學(xué)中對(duì)變形固體所作的基本假設(shè)是：

（一）均勻、連續(xù)性假設(shè)

組成固體的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿了固體的幾何空間。

（二）各向同性假設(shè)

在固體的體積內(nèi)，物體中各點(diǎn)在各個(gè)方向上的力學(xué)性能相同，可以用一個(gè)參數(shù)描寫(xiě)各點(diǎn)在各個(gè)方向上的某種力學(xué)性能。

（三）小變形假設(shè)

小變形就是：構(gòu)件由荷載引起的變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件的原始尺寸。變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件尺寸，在研究構(gòu)件的平衡和運(yùn)動(dòng)時(shí)按變形前的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算,以保證問(wèn)題在幾何上是線性的。小變形假設(shè)使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化：分析結(jié)構(gòu)平衡時(shí)，可采用理論力學(xué)的剛體靜力學(xué)方法；構(gòu)件的復(fù)雜變形可處理為若干基本變形的疊加。

三、        桿件的主要幾何特征

桿件是指長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫向尺寸(高度和寬度)的構(gòu)件。這是材料力學(xué)研究的主要對(duì)象。桿件的兩個(gè)主要的幾何特征是橫截面和軸線。

橫截面——垂直于桿件長(zhǎng)度方向的截面。

軸線——各橫截面形心的連線。

若桿的軸線為直線，稱(chēng)為直桿。若桿的軸線為曲線，稱(chēng)為曲桿。

 

 

 

 

 

 

 

四、        桿件變形的基本形式:

 

桿件變形的基本形式有：拉伸、壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。材料力學(xué)后面的知識(shí)其實(shí)也是圍繞這這五個(gè)基本形式展開(kāi)的，或者是這幾個(gè)形式其中的某兩個(gè)、三個(gè)的組合，

上面是材料力學(xué)的一些概述內(nèi)容，本小節(jié)重點(diǎn)掌握的是考試大綱中規(guī)定的：

材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能-低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線；力學(xué)性能指標(biāo)。

五、        低碳鋼在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

（1）低碳鋼試件的拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線規(guī)律（四個(gè)階段，3個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)），如圖所示。

3個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)：強(qiáng)度極限；屈服極限；比例極限。塑性指標(biāo)是：伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。

（2）、卸載定律：在加載過(guò)程中，如果加載到強(qiáng)化階段的任意點(diǎn)（d）后卸載，應(yīng)力應(yīng)變曲線沿著一條與oa平行的直線下降。即卸載按彈性規(guī)律，卸載后再加載，應(yīng)力應(yīng)變曲線基本按卸載路徑返回。

（3）、冷縮硬化：

在加載到強(qiáng)化階段后卸載，然后再加載，屈服點(diǎn)（d）明顯提高，斷裂前變形明顯減小，這種現(xiàn)象稱(chēng)為“冷縮硬化”，即比例極限提高而塑性降低的現(xiàn)象。

六、        鑄鐵的拉伸壓縮力學(xué)性能

特點(diǎn)：應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒(méi)有明顯的直線部分，沒(méi)有屈服階段，只有一個(gè)強(qiáng)度指標(biāo)-強(qiáng)度極限σb，鑄鐵的抗壓能力顯著高于抗拉能力。

第二節(jié)    軸向拉伸與壓縮

本節(jié)大綱要求基本要求內(nèi)容是：掌握軸力和軸力圖；桿件橫截面和斜截面上的應(yīng)力；強(qiáng)度條件；虎克定律；變形計(jì)算。

七、         軸向拉伸與壓縮的概念

（一）力學(xué)模型

軸向拉壓桿的力學(xué)模型如下圖5—2—1所示。

（二）  受力特征

其受力特點(diǎn)：是桿在兩端各受一集中（合）力ｐ的作用，這兩個(gè)ｐ力大小相等，指向相反，且作用線與桿軸線重合。判斷是拉力和壓力的方法就是：偏離截面的是軸向拉力，指向橫截面的是軸向壓力。  

（三）  變形特征

變形特征是：桿件主要產(chǎn)生軸線方向的均勻伸長(zhǎng)(縮短)。

軸向拉伸(壓縮)桿橫截面上的內(nèi)力

（一）內(nèi)力

由外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力；

（二）求內(nèi)力的方法-截面法

截面法是求內(nèi)力的一般方法。用截面法求內(nèi)力的步驟為

1．截開(kāi) 在需求內(nèi)力的截面處，假想地沿該截面將構(gòu)件截分為二。

2．代替 任取一部分為研究對(duì)象，稱(chēng)為脫離體。用內(nèi)力代替棄去部分對(duì)脫離體的作用。

3．平衡 對(duì)脫離體列寫(xiě)平衡條件，求解未知內(nèi)力。截面法的圖示如圖5－2－2。

（三）軸力

軸力就是：軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必定與桿軸線相重合，稱(chēng)為軸力。以n（或f_n）表示。軸力n規(guī)定以拉力為正，壓力為負(fù)。

（四）軸力圖

表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。

 

[例5－2－1]  畫(huà)出圖5－2－3中直桿的軸力圖。

[解] 按照截面法的原則，我們首先 用截面1—1、2－2、3－3將桿截開(kāi)，取脫離體如圖所示。各截面的軸力n₁、n₂、n₃均假定為拉力。由靜力平衡方程∑x=0分別求得：

其中負(fù)號(hào)表示軸力為壓力。

取坐標(biāo)系nox，x軸平行桿軸線，根據(jù)各段軸力的大小和正負(fù)可繪出軸力圖，如圖5-2-3所示。

分析與討論：

１．本例中若取截面左部分為脫離體時(shí)，則應(yīng)先計(jì)算桿件的未知外力(包括支座反力)。

２．用截面法求軸力時(shí)，總是假設(shè)截面上的內(nèi)力為正，這樣由平衡條件解得的內(nèi)力的正負(fù)號(hào)，就是該截面上內(nèi)力的實(shí)際的正負(fù)號(hào)。

３．作多個(gè)集中外力作用桿的軸力圖可采用簡(jiǎn)易法，其原則是：在集中外力作用的截面上軸力圖有突變，突變大小等于集中力的大小，突變方向看集中力對(duì)后段桿的作用是拉或壓，拉者向上突變，壓者向下突變。

上面的例題必須掌握。下面看10年的第59個(gè)真題，

59.等截面桿，軸向受力如圖所示。桿的最大軸力是：

（a）8kn         （b）5 kn          （c）3kn           （d）13kn 

 

軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力

分布規(guī)律：軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力垂直于截面，為正應(yīng)力。且正應(yīng)力在整個(gè)橫截面上均勻分布，如圖5－2－4所示。

正應(yīng)力公式                           

式中 ： n為軸力(n)，a為橫截面面積(㎡)。 應(yīng)力單位  n／㎡即pa。

軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

斜截面上的應(yīng)力均勻分布，如圖5－2－5，

其總應(yīng)力及應(yīng)力分量為：

總（全）應(yīng)力：

斜截面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力

式中  α—由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線的夾角，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；—斜截面mm的截面積；—橫截面上的正應(yīng)力。

拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)?！?/span>以其對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩時(shí)為正，反之為負(fù)。

根據(jù)公式可以看出：軸向拉壓桿中最大正應(yīng)力發(fā)生在α＝0度的橫截面上，最小正應(yīng)力發(fā)生在α＝90°的縱截面上，其值分別為：

最大剪應(yīng)力發(fā)生在α=±45°斜截面上，最小剪應(yīng)力發(fā)生在α=0度的橫截面和α=９0°的縱截面上，其值分別為

下面看一個(gè)例題：這個(gè)題考的就是基本概念，很簡(jiǎn)單，根據(jù)上面的公式得到答案是c，

五、強(qiáng)度條件

（一）許用應(yīng)力

材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。

塑性材料   

脆性材料

式中：σ_s為屈服極限，σ_b為抗拉強(qiáng)度-強(qiáng)度極限，n_s，n_b為安全系數(shù)（大于1）?！?/span>

（二）強(qiáng)度條件

構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為

強(qiáng)度條件可以解決的三類(lèi)問(wèn)題：

強(qiáng)度校核：

截面設(shè)計(jì)a≥n_max/[σ]

確定許可荷載：n_max≤［σ］a

根據(jù)平衡條件，由n_max計(jì)算容許的外力［p］。

六、軸向拉壓桿的變形 和虎克定律

（一）軸向拉壓桿的變形

桿件在軸向拉伸時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；而在軸向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。

軸向變形△l＝l’—l    

軸向線應(yīng)變?chǔ)牛健?/span>l/l 

橫向變形  △a=a’－a

橫向線應(yīng)變?chǔ)?/span>’=△a/a

（二）虎克定律

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即

σ＝eε

式中  e為材料的彈性模量。

或用軸力及桿件變形量表示為

△l= nl/ea

式中  ea為桿的抗拉(壓)剛度，表示桿件抵抗拉、壓彈性變形的能力。

虎克定律可以描述為：在比例極限（材料發(fā)生線彈性變形對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)力）內(nèi)，桿的總線變形△l與軸力n，桿長(zhǎng)l成正比，與乘積ea成反比。

（三）泊松比-橫向變形系數(shù)

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)?/span>‘，與縱向線應(yīng)變?chǔ)胖鹊慕^對(duì)值為一常數(shù)。即

ν=∣ε’/ε∣

泊松比ν是材料的彈性常數(shù)之一，無(wú)量綱。

（四）變形能

桿件在外力作用下因變形而貯存的能量稱(chēng)為變形能。若變形是彈性的，則稱(chēng)為彈性變形能。軸向拉壓桿的彈性變形能為

  

變形能的單位為焦耳(j)

比能： 單位體積內(nèi)貯存的變形能，稱(chēng)為比能。

軸向拉壓桿的彈性變形比能為

比能單位j／m3。

[例5-2-2]  圖5-2-7所示鋼木組合三角架中，鋼桿ab的直徑d=28㎜，許用應(yīng)力[σ]₁=160mpa，彈性模量e₁=2×10⁵mpa；木桿bc的橫截面為正方形，邊長(zhǎng)d=100㎜，許用應(yīng)力[σ] ₂=5mpa，彈性模量e2=1×10⁴mpa。a、b、c節(jié)點(diǎn)均為鉸接， 在節(jié)點(diǎn)b處作用一垂直荷載p。

1．若荷載p=36kn，試校核兩桿的強(qiáng)度，并求節(jié)點(diǎn)b的位移；

2．求該結(jié)構(gòu)的許可荷載；

3．若p等于許可荷載，計(jì)算鋼桿的直徑。

 [解]  1．校核兩桿的強(qiáng)度

先求各桿的內(nèi)力。取節(jié)點(diǎn)b為脫離體，如圖(b)所示。由平衡條件：

  解得

 

兩桿橫截面上的應(yīng)力

所以，兩桿均滿足強(qiáng)度條件。

  2．求節(jié)點(diǎn)b的位移

應(yīng)先計(jì)算兩桿在p力作用下的變形。

然后作變形位移圖。結(jié)構(gòu)變形后兩桿仍應(yīng)相交在一點(diǎn)，這就是變形的相容條件。因桿ab受拉力而伸長(zhǎng)△l₁，b點(diǎn)移至新位置b₁；因桿cb受壓力而縮短△l₂，b點(diǎn)移至新位置b₂。在小變形條件下，可用切線代替圓弧來(lái)確定節(jié)點(diǎn)b的新位置。即過(guò)b₁和b₂分別作ab_l和ab₂的垂線，兩垂線的交點(diǎn)b’即為節(jié)點(diǎn)b的新位置，如圖(c)所示。從圖中可看出：

b點(diǎn)的水平位移為

b點(diǎn)的垂直位移為

所以，b點(diǎn)的位移為

3．求結(jié)構(gòu)的許可荷載[p]

由強(qiáng)度條件，鋼桿的許可軸力為

相應(yīng)的許可荷載為

同理，木桿的許可軸力為

相應(yīng)的許可荷載為

為了保證兩桿都能安全、正常地工作，結(jié)構(gòu)的許可荷載應(yīng)取上述[p]₁、[p]₂中的較小值。即

[p]₁=[p]₂=37.5kn

    4．重新選擇鋼桿的直徑

當(dāng)p= [p] =37.5kn時(shí)，木桿的工作應(yīng)力剛好等于許用應(yīng)力，材料得到充分利用。但鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力小得多，表明它有多余的強(qiáng)度儲(chǔ)備，故應(yīng)重新選擇鋼桿的直徑，使其達(dá)到既安全又經(jīng)濟(jì)的要求。由強(qiáng)度條件

得

于是，選取鋼桿直徑d＝22㎜，則鋼桿的工作應(yīng)力比其許用應(yīng)力大2．8％，在工程上允許范圍(±5％)以內(nèi)。